Для решения уравнения |x - 4| + |x - 1| + |x + 5| = 12 нам нужно учитывать различные случаи в зависимости от значений переменной x, так как модуль имеет разные выражения в зависимости от того, больше или меньше нуля выражение внутри него.

Сначала определим критические точки, где выражения внутри модулей равны нулю:

• x - 4 = 0 → x = 4
• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 5 = 0 → x = -5

Теперь у нас есть три критические точки: -5, 1 и 4. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала:

• 1) x < -5
• 2) -5 ≤ x < 1
• 3) 1 ≤ x < 4
• 4) x ≥ 4

Теперь рассмотрим каждый интервал отдельно:

1. Интервал 1: x < -5

В этом интервале все выражения внутри модулей отрицательные:

|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4

|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1

|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5

Подставляем в уравнение:

-x + 4 - x + 1 - x - 5 = 12

-3x = 12 - 4 + 5 - 1

-3x = 12

x = -4

Проверяем, -4 < -5? Нет, это не подходит.

2. Интервал 2: -5 ≤ x < 1

Здесь |x - 4| и |x - 1| отрицательные, а |x + 5| положительное:

|x - 4| = -x + 4

|x - 1| = -x + 1

|x + 5| = x + 5

Подставляем в уравнение:

-x + 4 - x + 1 + x + 5 = 12

4 = 12

Это невозможно, значит, решений нет.

3. Интервал 3: 1 ≤ x < 4

В этом интервале |x - 4| отрицательный, а остальные положительные:

|x - 4| = -x + 4

|x - 1| = x - 1

|x + 5| = x + 5

Подставляем в уравнение:

-x + 4 + x - 1 + x + 5 = 12

x + 8 = 12

x = 4

Проверяем, 4 < 4? Нет, это не подходит.

4. Интервал 4: x ≥ 4

Все выражения положительные:

|x - 4| = x - 4

|x - 1| = x - 1

|x + 5| = x + 5

Подставляем в уравнение:

x - 4 + x - 1 + x + 5 = 12

3x = 12 + 4 + 1 - 5

3x = 12

x = 4

Проверяем, x = 4 подходит для этого интервала.

Таким образом, единственное решение уравнения:

x = 4