Чтобы решить неравенство 2x(x+5) < 0, давайте сначала упростим его и найдем корни уравнения.

1. Найдём корни уравнения: Для этого приравняем левую часть к нулю:
• 2x(x + 5) = 0
• Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому решим два уравнения:
• 2x = 0 → x = 0
• x + 5 = 0 → x = -5
2. Определим интервалы: Теперь у нас есть два корня: x = -5 и x = 0. Эти корни делят числовую прямую на три интервала:
• (-∞, -5)
• (-5, 0)
• (0, +∞)
3. Проверим знаки на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство 2x(x + 5):
• Для интервала (-∞, -5), например, x = -6:
• 2(-6)(-6 + 5) = 2(-6)(-1) = 12 > 0 (знак положительный)
• Для интервала (-5, 0), например, x = -1:
• 2(-1)(-1 + 5) = 2(-1)(4) = -8 < 0 (знак отрицательный)
• Для интервала (0, +∞), например, x = 1:
• 2(1)(1 + 5) = 2(1)(6) = 12 > 0 (знак положительный)
4. Соберем результаты: Мы видим, что неравенство 2x(x + 5) < 0 выполняется на интервале (-5, 0).
5. Наибольшее целое решение: В этом интервале наибольшее целое число — это -1.

Ответ: Наибольшее целое решение неравенства 2x(x + 5) < 0 — это x = -1.