В треугольнике ABC вершина A находится на окружности, центр которой обозначен как точка O. Отрезок AC является диаметром этой окружности, длина отрезка AB составляет 5 см, а угол ACB равен 30°. Как можно найти расстояние между вершиной B и центром окружности O?

Математика 8 класс Треугольники и окружности расстояние между B и O треугольник ABC угол ACB 30° окружность с центром O отрезок AB 5 см диаметр окружности AC Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства окружности и треугольников. Давайте разберем шаги, которые помогут нам найти расстояние между вершиной B и центром окружности O.

Шаг 1: Понимание свойств окружности

• Поскольку отрезок AC является диаметром окружности, то угол ABC будет равен 90 градусам (по теореме о вписанном угле).
• Таким образом, мы имеем треугольник ABC, где угол ACB равен 30 градусам, угол ABC равен 90 градусам, и угол CAB равен 60 градусам (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам).

Шаг 2: Определение сторон треугольника

В треугольнике ABC у нас есть следующая информация:

• AB = 5 см (дано)
• Угол ACB = 30°
• Угол ABC = 90°
• Угол CAB = 60°

Шаг 3: Использование тригонометрических соотношений

Мы можем использовать соотношение для нахождения длины стороны AC, используя синус угла ACB:

• Синус угла ACB = противолежащая сторона (AB) / гипотенуза (AC).
• Синус 30° = 1/2, поэтому:
• 1/2 = 5 / AC.

Отсюда мы можем выразить AC:

• AC = 5 * 2 = 10 см.

Шаг 4: Нахождение радиуса окружности

Поскольку AC является диаметром окружности, радиус R будет равен половине длины AC:

• R = AC / 2 = 10 см / 2 = 5 см.

Шаг 5: Нахождение расстояния BO

Теперь мы можем найти расстояние между точкой B и центром окружности O. В треугольнике ABO:

• AB = 5 см (дано).
• AO = радиус окружности = 5 см.
• Угол AOB равен 60° (так как это угол между радиусом и стороной AB).

Используя закон косинусов в треугольнике ABO, мы можем найти BO:

• BO^2 = AB^2 + AO^2 - 2 * AB * AO * cos(AOB).
• BO^2 = 5^2 + 5^2 - 2 * 5 * 5 * cos(60°).
• cos(60°) = 1/2, поэтому:
• BO^2 = 25 + 25 - 2 * 5 * 5 * 1/2.
• BO^2 = 25 + 25 - 25 = 25.
• BO = sqrt(25) = 5 см.

Ответ: Расстояние между вершиной B и центром окружности O равно 5 см.