Для доказательства того, что отрезок, соединяющий две произвольно выбранные точки внутри равностороннего треугольника, меньше длины стороны этого треугольника, воспользуемся следующими шагами:

1. Определение равностороннего треугольника: Напомним, что равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны, и все углы равны 60 градусам.
2. Обозначение точек: Пусть ABC - равносторонний треугольник, и выберем две произвольные точки P и Q внутри этого треугольника.
3. Использование свойства треугольника: Рассмотрим треугольники APB, AQC, BPC и BQA. Каждый из этих треугольников является треугольником, у которого одна из сторон – это сторона равностороннего треугольника, а две другие стороны – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками P и Q.
4. Неравенство треугольника: Согласно свойству неравенства треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Это означает, что для каждого из треугольников, упомянутых выше, выполняется следующее неравенство:
   • AP + PB > AB
   • AQ + QC > AC
   • BP + PC > BC
   • BQ + QA > BA
5. Сравнение отрезков: Теперь, если мы соединим точки P и Q отрезком PQ, то по неравенству треугольника можно сказать, что:
   • PQ < AP + PB
   • PQ < AQ + QC
   • PQ < BP + PC
   • PQ < BQ + QA
6. Заключение: Поскольку точки P и Q находятся внутри треугольника ABC, то длина отрезка PQ будет меньше длины любой стороны треугольника ABC. Таким образом, мы можем утверждать, что: PQ < AB, PQ < AC, PQ < BC.

Следовательно, отрезок, соединяющий две произвольно выбранные точки внутри равностороннего треугольника, действительно меньше длины стороны этого треугольника. Это и требовалось доказать.