Давайте поможем Алисе разобраться, как из квадратного зеркала сделать правильное восьмиугольное зеркало.

Итак, у нас есть квадратное зеркало со стороной 80 см. Чтобы получить правильный восьмиугольник, мы будем срезать углы квадрата, образуя тем самым 4 одинаковых прямоугольных треугольника в каждом углу.

Поскольку мы хотим, чтобы восьмиугольник был правильным, все его стороны должны быть равны. Это значит, что после срезания углов длина каждой стороны восьмиугольника будет одинаковой.

1. Пусть длина стороны восьмиугольника будет обозначена как x.
2. Заметим, что восьмиугольник состоит из центрального квадрата и 4 равнобедренных треугольников, которые мы срезали. Катеты этих треугольников равны.
3. Если мы посмотрим на одну из сторон квадрата, то она состоит из одной стороны восьмиугольника и двух катетов треугольников. Значит, x + 2a = 80, где a — это длина катета треугольника.
4. Кроме того, у нас есть диагональ центрального квадрата, которая равна x√2 (поскольку диагональ квадрата равна стороне, умноженной на корень из 2).
5. Диагональ исходного квадрата равна 80√2.
6. Таким образом, диагональ центрального квадрата также равна 80 - 2a.
7. Составим уравнение: 80 - 2a = x√2.
8. Теперь у нас есть две системы уравнений:
   • x + 2a = 80
   • 80 - 2a = x√2

Решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения выразим x: x = 80 - 2a.
2. Подставим это значение во второе уравнение: 80 - 2a = (80 - 2a)√2.
3. Упростим уравнение: 80 - 2a = 80√2 - 2a√2.
4. Перенесем все, что связано с a, в одну сторону: 2a√2 - 2a = 80√2 - 80.
5. Вынесем 2a за скобки: 2a(√2 - 1) = 80(√2 - 1).
6. Разделим обе части уравнения на 2(√2 - 1): a = 40.

Длина катета одного треугольника равна 40 см. Переведем это значение в миллиметры: 40 см = 400 мм.

Таким образом, длина катета каждого отсеченного треугольника составляет примерно 400 мм.