Задание 1.

Как построить равнобедренный треугольник, если даны его основание a и биссектриса b, проведённая к этому основанию? Не забудьте нарисовать отрезки a и b и выполните решение в 4 этапа:

1. Анализ задачи: используйте свойства равнобедренного треугольника и определите необходимые построения.
2. Построение: запишите план построения и выполните его шаги.
3. Доказательство: докажите, что построенный треугольник является равнобедренным с основанием a и биссектрисой b.
4. Исследование: объясните, сколько решений имеет задача при заданных значениях a и b, и всегда ли задача будет иметь решение при различных значениях a и b?

Математика 8 класс Построение геометрических фигур равнобедренный треугольник построение треугольника биссектрисы треугольника свойства равнобедренного треугольника анализ задачи доказательство треугольника исследование треугольника задачи по геометрии Новый

Анализ задачи:

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а третья сторона является основанием. В нашем случае основание обозначим как a, а биссектрису, проведённую к этому основанию, обозначим как b. Биссектрисы равнобедренного треугольника делят угол, противолежащий основанию, пополам. Чтобы построить такой треугольник, нам нужно учесть, что длина биссектрисы b должна соответствовать длине основанию a, а также соблюсти условия для равенства двух боковых сторон.

Построение:

1. Нарисуйте отрезок a, который будет основанием треугольника.
2. Найдите середину отрезка a и обозначьте её точкой M.
3. Из точки M проведите перпендикуляр к отрезку a, который будет представлять собой высоту треугольника. Отметьте на этом перпендикуляре точку H так, чтобы MH = b.
4. Соедините точки H с концами отрезка a, получив треугольник. Обозначьте его вершины A (левый конец a), B (правый конец a) и H.

Доказательство:

Теперь необходимо доказать, что треугольник ABH является равнобедренным. Мы знаем, что MH является биссектрисой угла AHB. По свойству биссектрисы, отрезки AH и BH равны, так как они являются сторонами равнобедренного треугольника. Таким образом, ABH — равнобедренный треугольник с основанием AB = a и боковыми сторонами AH = BH.

Исследование:

Количество решений задачи зависит от соотношения между длинами a и b. Если длина биссектрисы b меньше, чем половина длины основания a, то треугольник можно построить. Если же b больше, то треугольник не может быть построен, так как боковые стороны не смогут соединиться. Таким образом, задача имеет решение, если выполняется условие b < a/2. В противном случае решений не будет.