Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Из условия задачи мы знаем, что A - натуральное число, и при делении A на 6 остаток равен 1. Это можно записать как:

• A = 6k + 1, где k - натуральное число.

2. Теперь найдем A². Подставим выражение для A:

• A² = (6k + 1)² = 36k² + 12k + 1.

3. Теперь найдем A² - B². Мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

• A² - B² = (A - B)(A + B).

4. Нам известно, что остаток при делении A² - B² на 6 равен 3. Это значит, что:

• (A - B)(A + B) ≡ 3 (mod 6).

5. Теперь давайте рассмотрим A - B и A + B. Поскольку A = 6k + 1, то A может быть представлено как 1 по модулю 6. Теперь рассмотрим B:

• Пусть B = 6m + r, где r - остаток при делении B на 6 (r может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5).

6. Теперь определим A - B:

• A - B = (6k + 1) - (6m + r) = 6(k - m) + (1 - r).

7. Теперь рассмотрим A + B:

• A + B = (6k + 1) + (6m + r) = 6(k + m) + (1 + r).

8. Теперь подставим A - B и A + B в выражение (A - B)(A + B):

• (A - B)(A + B) = (6(k - m) + (1 - r))(6(k + m) + (1 + r)).

9. Теперь, чтобы найти возможные остатки B при делении на 6, мы можем рассмотреть различные значения r и проверить, при каких значениях (A - B)(A + B) будет давать остаток 3 при делении на 6.

10. Рассмотрим возможные значения r:

• Если r = 0, то 1 - r = 1 и 1 + r = 1. Произведение будет делиться на 6, остаток 0.
• Если r = 1, то 1 - r = 0 и 1 + r = 2. Произведение будет делиться на 6, остаток 0.
• Если r = 2, то 1 - r = -1 (или 5 по модулю 6) и 1 + r = 3. Произведение 5 * 3 = 15, остаток 3.
• Если r = 3, то 1 - r = -2 (или 4 по модулю 6) и 1 + r = 4. Произведение 4 * 4 = 16, остаток 4.
• Если r = 4, то 1 - r = -3 (или 3 по модулю 6) и 1 + r = 5. Произведение 3 * 5 = 15, остаток 3.
• Если r = 5, то 1 - r = -4 (или 2 по модулю 6) и 1 + r = 6. Произведение 2 * 6 = 12, остаток 0.

11. Таким образом, остатки, которые могут быть получены при делении B на 6, равны:

• 2
• 4

Итак, ответ: остатки при делении B на 6 могут быть равны 2 и 4.