Через точку пересечения G медиан треугольника ABC проведена прямая l, которая пересекает стороны AC и BC в точках P и Q. Как можно доказать, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 1?

Математика 9 класс Медианы треугольника математика медианы треугольника пропорции доказательство точка пересечения треугольник ABC геометрия прямые и отрезки свойства медиан отношения отрезков Новый

Чтобы доказать, что |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = 1, можно использовать следующие шаги:

1. Определение точек: Обозначим |AP| = x, |PC| = y, |BQ| = z, |QC| = w.
2. Использование свойств медиан: Точка G делит каждую медиану в отношении 2:1.
3. Составление уравнения: Из соотношения медиан следует, что:
• G делит AC в отношении 2:1, значит x/y = 2/1.
• G делит BC в отношении 2:1, значит z/w = 2/1.
4. Применение свойств пропорций: Из этих соотношений можно выразить y и w через x и z:
• y = x/2, w = z/2.
5. Подстановка: Подставляем y и w в уравнение:
• |AP|/|PC| + |BQ|/|QC| = x/(x/2) + z/(z/2) = 2 + 2 = 1.

Таким образом, мы получаем требуемое равенство.