Чётные натуральные числа a и b таковы, что НОД(a, b) + НОК(a, b) = 224. Сколько различных значений может принимать НОК(a, b)?

Математика 9 класс НОД и НОК натуральных чисел четные натуральные числа НОД НОК задача по математике значения НОК свойства НОД свойства НОК Новый

Для решения задачи начнем с определения, что такое НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел.

Пусть a и b - чётные натуральные числа. Обозначим их как:

• a = 2m
• b = 2n

где m и n - натуральные числа. Теперь найдем НОД и НОК:

• НОД(a, b) = 2 * НОД(m, n)
• НОК(a, b) = 2 * НОК(m, n)

Согласно свойству НОД и НОК, выполняется следующее равенство:

НОД(a, b) * НОК(a, b) = a * b

Подставим наши выражения в данное равенство:

2 * НОД(m, n) * 2 * НОК(m, n) = (2m) * (2n)

Упрощая, получаем:

НОД(m, n) * НОК(m, n) = m * n

Теперь подставим НОД и НОК в условие задачи:

НОД(a, b) + НОК(a, b) = 224

Подставляем:

2 * НОД(m, n) + 2 * НОК(m, n) = 224

Делим обе стороны на 2:

НОД(m, n) + НОК(m, n) = 112

Теперь обозначим НОД(m, n) как d. Тогда:

• m = dk
• n = dl

где k и l - взаимно простые числа. Подставим в уравнение:

d + НОК(m, n) = 112

Теперь найдем НОК:

НОК(m, n) = (m * n) / НОД(m, n) = (dk * dl) / d = dkl

Подставляем это в уравнение:

d + dkl = 112

Вынесем d за скобки:

d(1 + kl) = 112

Теперь d должно быть делителем 112. Найдем все делители 112:

112 = 2^4 * 7, и его делители: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112.

Теперь для каждого делителя d найдем соответствующее значение kl:

• Если d = 1, то 1 + kl = 112, kl = 111.
• Если d = 2, то 1 + kl = 56, kl = 55.
• Если d = 4, то 1 + kl = 28, kl = 27.
• Если d = 7, то 1 + kl = 16, kl = 15.
• Если d = 8, то 1 + kl = 14, kl = 13.
• Если d = 14, то 1 + kl = 8, kl = 7.
• Если d = 16, то 1 + kl = 7, kl = 6.
• Если d = 28, то 1 + kl = 4, kl = 3.
• Если d = 56, то 1 + kl = 2, kl = 1.
• Если d = 112, то 1 + kl = 1, kl = 0 (не подходит).

Теперь найдем все возможные значения НОК:

НОК(a, b) = dkl = d(kl).

Подставляя d и соответствующее kl, получаем:

• d = 1, kl = 111, НОК = 1 * 111 = 111.
• d = 2, kl = 55, НОК = 2 * 55 = 110.
• d = 4, kl = 27, НОК = 4 * 27 = 108.
• d = 7, kl = 15, НОК = 7 * 15 = 105.
• d = 8, kl = 13, НОК = 8 * 13 = 104.
• d = 14, kl = 7, НОК = 14 * 7 = 98.
• d = 16, kl = 6, НОК = 16 * 6 = 96.
• d = 28, kl = 3, НОК = 28 * 3 = 84.
• d = 56, kl = 1, НОК = 56 * 1 = 56.

Теперь соберем все уникальные значения НОК:

• 111
• 110
• 108
• 105
• 104
• 98
• 96
• 84
• 56

Таким образом, у нас есть 9 различных значений для НОК(a, b).

Ответ: 9