Для решения задачи начнем с анализа функции f(a, b). Напомним, что f(a, b) - это наименьшее натуральное число c, такое что НОД(a, c) > 1 и НОД(b, c) > 1. Это означает, что c должно иметь общие делители с a и b, отличные от 1.

Теперь у нас есть два уравнения:

• f(x, y) = 505
• f(y, z) = 707

Рассмотрим числа 505 и 707. Разложим их на простые множители:

• 505 = 5 * 101
• 707 = 7 * 101

Теперь давайте проанализируем, какие делители могут быть у чисел x, y и z.

1. Из условия f(x, y) = 505 следует, что:

• x и y имеют общий делитель 5 или 101 (или оба).

2. Из условия f(y, z) = 707 следует, что:

• y и z имеют общий делитель 7 или 101 (или оба).

Теперь определим возможные значения f(x, z). Мы знаем, что:

• f(x, z) должно иметь общий делитель с x, z, который может быть 5, 7, 101 или их комбинации.

Теперь рассмотрим возможные случаи:

1. Если x и z имеют общий делитель 101, то f(x, z) может быть 101.
2. Если x имеет общий делитель 5 и z имеет общий делитель 7, то f(x, z) может быть 35 (5 * 7).
3. Если x и z имеют общий делитель 5 и 7, то f(x, z) может быть 35.
4. Если x и z имеют общий делитель 505, то f(x, z) может быть 505.
5. Если x и z имеют общий делитель 707, то f(x, z) может быть 707.

Таким образом, возможные значения f(x, z) могут быть 101, 5, 7, 35, 505, 707.

Теперь мы можем подсчитать, сколько уникальных значений может принимать f(x, z):

• 101
• 35
• 707
• 505

Итак, ответ: f(x, z) может принимать 4 различных значения.

Ответ: 4.