Гипотеза Артина — это одна из важных гипотез в области теории чисел и алгебраической теории чисел. Она была предложена немецким математиком Эмилем Артином в 1927 году. Гипотеза касается свойств полей и их расширений, а именно, она утверждает следующее:

Если K — это число полей, а G — это группа Галуа, то для любого конечного расширения поля K, которое является нормальным и сепарабельным, существует хотя бы одно не нулевое число, которое является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из K.

Гипотеза Артина может быть переформулирована следующим образом:

• Если G — это группа Галуа, то для любого конечного расширения поля K, которое является нормальным и сепарабельным, существует хотя бы одно не нулевое число, которое является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из K.

Гипотеза была проверена для множества конкретных случаев, но до сих пор не имеет общего доказательства. Она остается открытой проблемой в математике и является предметом активных исследований.

Гипотеза Артина имеет важные приложения в различных областях математики, включая теорию чисел, алгебру и геометрию. Она также связана с другими важными концепциями, такими как классические теоремы о числах и их свойствах.

Таким образом, Гипотеза Артина представляет собой интересный и сложный вопрос, который продолжает привлекать внимание математиков по всему миру.