Какое простое число p может быть таким, что для любых a и b числа 13a, 4b и a, 3b либо оба делятся на p, либо оба не делятся?

Математика 9 класс Теория чисел простое число Делимость 13a 4b A 3b математика 9 класс условия делимости числа математическая задача Новый

Давайте рассмотрим условие задачи. Нам нужно найти простое число p, при котором для любых целых чисел a и b числа 13a и 4b либо оба делятся на p, либо оба не делятся на p. Аналогично, числа a и 3b также должны либо оба делиться на p, либо оба не делиться на p.

Рассмотрим это условие подробнее:

1. Если 13a делится на p, то 4b тоже должно делиться на p, и наоборот.
2. Если a делится на p, то 3b тоже должно делиться на p, и наоборот.

Теперь попробуем найти такое простое число p. Для этого рассмотрим следующее:

• Пусть p = 13. Тогда если a делится на 13, то 13a очевидно делится на 13, и условие выполняется для любого b. Однако, это не гарантирует выполнение второго условия для 3b.
• Пусть p = 3. Тогда если b делится на 3, то 3b очевидно делится на 3, и условие выполняется для любого a. Однако, это также не гарантирует выполнение первого условия для 4b.

Теперь обратим внимание на число p = 5:

• Если 13a делится на 5, то 13 и 5 взаимно просты, значит, a должно делиться на 5. Это значит, что 4b тоже должно делиться на 5, что возможно только если b делится на 5.
• Если a делится на 5, то 3b тоже должно делиться на 5, что возможно только если b делится на 5.

Таким образом, число p = 5 удовлетворяет обоим условиям задачи. Поэтому ответ: p = 5.