Чтобы понять, как изменится площадь поверхности правильной треугольной призмы, если её рёбра увеличатся в четыре раза, давайте разберёмся с основными понятиями.

Шаг 1: Понимание площади поверхности призмы

Площадь поверхности правильной треугольной призмы состоит из двух треугольных оснований и трёх прямоугольных боковых граней. Если обозначить сторону треугольника как "a", то площадь одного треугольного основания можно выразить через формулу:

• Площадь треугольника = (√3 / 4) * a²

Таким образом, площадь двух оснований будет равна:

• 2 * (√3 / 4) * a² = (√3 / 2) * a²

Площадь боковых граней можно найти, зная периметр основания и высоту призмы. Периметр правильного треугольника равен 3a, а высота призмы обозначим как "h". Таким образом, площадь боковых граней будет равна:

• 3a * h

Следовательно, общая площадь поверхности правильной треугольной призмы будет равна:

• Площадь поверхности = (√3 / 2) * a² + 3a * h

Шаг 2: Увеличение рёбер в 4 раза

Теперь, если все рёбра призмы увеличатся в 4 раза, то новая сторона треугольника станет равной 4a, а высота призмы станет 4h.

Теперь посчитаем новую площадь поверхности:

• Площадь нового основания = (√3 / 4) * (4a)² = (√3 / 4) * 16a² = 4(√3) * a²
• Площадь двух новых оснований = 2 * 4(√3) * a² = 8(√3) * a²
• Периметр нового основания = 3 * (4a) = 12a
• Площадь новых боковых граней = 12a * (4h) = 48ah

Таким образом, новая площадь поверхности будет равна:

• Площадь поверхности = 8(√3) * a² + 48ah

Шаг 3: Изменение площади поверхности

Теперь сравним новую площадь поверхности с первоначальной:

• Каждая часть площади увеличилась в 16 раз, так как (4a)² = 16a². Таким образом, при увеличении всех рёбер в 4 раза, площадь поверхности увеличивается в 16 раз.

Шаг 4: Подсчёт новой площади

Если изначальная площадь поверхности призмы равна 4,25, то новая площадь поверхности будет равна:

• Новая площадь = 4,25 * 16 = 68

Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной призмы увеличится до 68.