Как можно доказать, что ABCD является трапецией, если даны векторы →AB=2→a+2→b, →BC=− →a+2→b и →CD=−3→a, где →a и →b - ненулевые и неколлинеарные векторы?

Математика 9 класс Векторы и геометрия доказательство трапеции векторы ABCD ненулевые векторы неколлинеарные векторы геометрия векторов Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, нам нужно показать, что одна из пар его сторон параллельна. В данном случае мы будем исследовать векторы, которые представляют стороны ABCD.

Даны векторы:

• →AB = 2→a + 2→b
• →BC = -→a + 2→b
• →CD = -3→a

Нам также нужно найти вектор →AD, который будет равен:

• →AD = →AB + →BC + →CD

Теперь давайте найдем вектор →AD. Для этого сначала найдем вектор →AC, который равен сумме векторов →AB и →BC:

1. →AC = →AB + →BC = (2→a + 2→b) + (-→a + 2→b) = (2→a - →a) + (2→b + 2→b) = →a + 4→b

Теперь мы можем выразить вектор →AD:

1. →AD = →AB + →BC + →CD = (2→a + 2→b) + (-→a + 2→b) + (-3→a) = (2→a - →a - 3→a) + (2→b + 2→b) = (-2→a) + (4→b)

Теперь у нас есть векторы:

• →AB = 2→a + 2→b
• →CD = -3→a
• →AD = -2→a + 4→b

Теперь мы можем проверить, являются ли векторы →AB и →CD параллельными. Для этого мы можем выразить один вектор через другой. Если существует скаляр k, такой что:

1. →AB = k * →CD

Подставим векторы:

1. 2→a + 2→b = k * (-3→a)

Решим это уравнение для k. Сравнивая коэффициенты перед векторами →a и →b, мы получаем:

• 2 = -3k (для вектора →a)
• 2 = 0 (для вектора →b)

Из второго уравнения видно, что k не может быть определен, так как вектор →b не равен нулю. Это означает, что векторы →AB и →CD не могут быть пропорциональны, и, следовательно, они не являются параллельными.

Теперь рассмотрим векторы →BC и →AD:

1. →BC = -→a + 2→b
2. →AD = -2→a + 4→b

Сравнивая их, мы можем выразить →AD через →BC:

1. →AD = 2 * →BC

Таким образом, векторы →BC и →AD параллельны.

Итак, мы доказали, что ABCD является трапецией, так как одна пара противолежащих сторон (BC и AD) параллельны. Это и есть необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был трапецией.