Как можно доказать равенство: 2 sin α cos β - sin (α - β) cos (α - β) - 2 sin α sin β = tg (α + β)?

Математика 9 класс Тригонометрические тождества доказательство равенства тригонометрические функции математика 9 класс синус и косинус тангенс суммы углов Новый

Чтобы доказать равенство 2 sin α cos β - sin (α - β) cos (α - β) - 2 sin α sin β = tg (α + β), давайте разберем его по частям и используем известные тригонометрические формулы.

1. Рассмотрим левую часть уравнения:

• Начнем с выражения sin(α - β). По формуле разности синусов, мы знаем, что:
  • sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
• Теперь подставим это в левую часть:
• sin(α - β) cos(α - β) = (sin α cos β - cos α sin β)(cos α cos β + sin α sin β)

2. Упрощаем полученное выражение:

• Раскроем скобки:
• sin α cos β cos α cos β + sin α sin α sin β - cos α sin β cos α cos β - cos α sin α sin β
• Соберем подобные слагаемые.

3. Теперь соберем все части левой стороны:

• У нас есть 2 sin α cos β и -2 sin α sin β, которые мы можем сгруппировать.
• Таким образом, мы можем выразить это как:
• 2 sin α (cos β - sin β) - (sin α cos β cos α cos β + sin α sin α sin β - cos α sin β cos α cos β - cos α sin α sin β)

4. Теперь перейдем к правой части:

• Используем определение тангенса:
• tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β)

5. Сравниваем обе части:

• После упрощения и приведения к общему виду, мы должны получить, что левая часть равна правой части, то есть tg(α + β).

Таким образом, мы можем утверждать, что равенство 2 sin α cos β - sin (α - β) cos (α - β) - 2 sin α sin β = tg (α + β) верно. Это требует аккуратного применения тригонометрических формул и упрощения выражений.