Как можно найти пары натуральных чисел, у которых наибольший общий делитель равен 5, а наименьшее общее кратное равно 105?

Математика 9 класс Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное пары натуральных чисел наибольший общий делитель наименьшее общее кратное математика 9 класс задачи на делители и кратные Новый

Чтобы найти пары натуральных чисел, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 5, а наименьшее общее кратное (НОК) равно 105, давайте воспользуемся свойствами НОД и НОК.

Шаг 1: Используем связь между НОД и НОК.

Существует формула, связывающая НОД и НОК двух чисел a и b:

НОК(a, b) * НОД(a, b) = a * b

В нашем случае:

• НОД(a, b) = 5
• НОК(a, b) = 105

Подставим значения в формулу:

105 * 5 = a * b

Таким образом, a * b = 525.

Шаг 2: Найдем возможные пары чисел.

Пусть a = 5m и b = 5n, где m и n - натуральные числа. Тогда:

a * b = (5m) * (5n) = 25mn = 525.

Разделим обе стороны на 25:

mn = 21.

Шаг 3: Найдем натуральные пары (m, n), которые удовлетворяют уравнению mn = 21.

Разложим 21 на множители:

• 1 * 21
• 3 * 7

Таким образом, возможные пары (m, n) равны:

• (1, 21)
• (3, 7)
• (7, 3)
• (21, 1)

Шаг 4: Найдем соответствующие пары (a, b).

Теперь подставим найденные значения m и n в выражения для a и b:

• Для (1, 21): a = 5 * 1 = 5, b = 5 * 21 = 105 → (5, 105)
• Для (3, 7): a = 5 * 3 = 15, b = 5 * 7 = 35 → (15, 35)
• Для (7, 3): a = 5 * 7 = 35, b = 5 * 3 = 15 → (35, 15)
• Для (21, 1): a = 5 * 21 = 105, b = 5 * 1 = 5 → (105, 5)

Шаг 5: Проверим найденные пары.

Теперь давайте убедимся, что для каждой пары (a, b) действительно НОД(a, b) = 5 и НОК(a, b) = 105:

• (5, 105): НОД = 5, НОК = 105
• (15, 35): НОД = 5, НОК = 105
• (35, 15): НОД = 5, НОК = 105
• (105, 5): НОД = 5, НОК = 105

Ответ: Пары натуральных чисел, удовлетворяющие условиям, это (5, 105), (15, 35), (35, 15) и (105, 5).