Как можно решить следующие неравенства?

1. 1)
   • а. х^2 - 16 < 0
   • б. х^2 - 36 > 0
   • в. -х^2 - 6 < 0
   • г. х^2 + 1 < 0
2. 2)
   • а. х^2 - 7х < 0
   • б. х^2 + 3х > 0
   • в. х^2 + 1/3 > 0
   • г. х^2 - 4,2х < 0
3. 3)
   • а. х^2 - 3х - 40 > 0
   • б. 3х^2 + 5х - 2 < 0
   • в. х^2 + 12х + 40 > 0
   • г. -4х^2 + 12х - 9 < 0
   • д. х^2 - 5х - 50 < 0
   • е. 9х^2 + 6х + 1 > 0

Математика 9 класс Неравенства и их решения неравенства решение неравенств математика 9 класс Квадратные неравенства примеры неравенств алгебра анализ неравенств графики неравенств методы решения неравенств Новый

Давайте разберем каждое из неравенств по очереди. Мы будем использовать метод нахождения корней и интервалов для определения решения неравенств.

1) Неравенства:

1. а. х^2 - 16 < 0
• Сначала находим корни уравнения х^2 - 16 = 0. Это уравнение можно разложить: (х - 4)(х + 4) = 0. Корни: х = 4 и х = -4.
• Теперь определим знаки на интервалах: (-∞, -4), (-4, 4), (4, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < -4, например, х = -5: (-5)^2 - 16 = 25 - 16 = 9 > 0.
• Для -4 < х < 4, например, х = 0: 0^2 - 16 = -16 < 0.
• Для х > 4, например, х = 5: 5^2 - 16 = 25 - 16 = 9 > 0.
• Ответ: (-4, 4).
2. б. х^2 - 36 > 0
• Находим корни уравнения х^2 - 36 = 0: (х - 6)(х + 6) = 0. Корни: х = 6 и х = -6.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, -6), (-6, 6), (6, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < -6: (-7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13 > 0.
• Для -6 < х < 6: (0)^2 - 36 = -36 < 0.
• Для х > 6: (7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13 > 0.
• Ответ: (-∞, -6) ∪ (6, +∞).
3. в. -х^2 - 6 < 0
• Перепишем неравенство: -х^2 < 6, или х^2 > -6. Это неравенство всегда верно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
• Ответ: (-∞, +∞).
4. г. х^2 + 1 < 0
• Квадрат любого числа х^2 всегда неотрицателен, поэтому х^2 + 1 всегда больше 0.
• Ответ: нет решений.

2) Неравенства:

1. а. х^2 - 7х < 0
• Находим корни: х^2 - 7х = 0, х(х - 7) = 0. Корни: х = 0 и х = 7.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, 0), (0, 7), (7, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < 0: (-1)^2 - 7(-1) = 1 + 7 = 8 > 0.
• Для 0 < х < 7: (1)^2 - 7(1) = 1 - 7 = -6 < 0.
• Для х > 7: (8)^2 - 7(8) = 64 - 56 = 8 > 0.
• Ответ: (0, 7).
2. б. х^2 + 3х > 0
• Находим корни: х^2 + 3х = 0, х(х + 3) = 0. Корни: х = 0 и х = -3.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, -3), (-3, 0), (0, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < -3: (-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4 > 0.
• Для -3 < х < 0: (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 < 0.
• Для х > 0: (1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4 > 0.
• Ответ: (-∞, -3) ∪ (0, +∞).
3. в. х^2 + 1/3 > 0
• Так как х^2 всегда неотрицателен, то х^2 + 1/3 всегда больше 0.
• Ответ: (-∞, +∞).
4. г. х^2 - 4,2х < 0
• Находим корни: х^2 - 4,2х = 0, х(х - 4,2) = 0. Корни: х = 0 и х = 4,2.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, 0), (0, 4,2), (4,2, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < 0: (-1)^2 - 4,2(-1) = 1 + 4,2 = 5,2 > 0.
• Для 0 < х < 4,2: (1)^2 - 4,2(1) = 1 - 4,2 = -3,2 < 0.
• Для х > 4,2: (5)^2 - 4,2(5) = 25 - 21 = 4 > 0.
• Ответ: (0, 4,2).

3) Неравенства:

1. а. х^2 - 3х - 40 > 0
• Находим корни: х^2 - 3х - 40 = 0. Используем формулу корней: х = (3 ± √(9 + 160)) / 2 = (3 ± 13) / 2. Корни: х = 8 и х = -5.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, -5), (-5, 8), (8, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < -5: (-6)^2 - 3(-6) - 40 = 36 + 18 - 40 = 14 > 0.
• Для -5 < х < 8: (0)^2 - 3(0) - 40 = -40 < 0.
• Для х > 8: (9)^2 - 3(9) - 40 = 81 - 27 - 40 = 14 > 0.
• Ответ: (-∞, -5) ∪ (8, +∞).
2. б. 3х^2 + 5х - 2 < 0
• Находим корни: 3х^2 + 5х - 2 = 0. Используем дискриминант: D = 5^2 - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49. Корни: х = (-5 ± 7) / 6, х = 1/3 и х = -2.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, -2), (-2, 1/3), (1/3, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < -2: 3(-3)^2 + 5(-3) - 2 = 27 - 15 - 2 = 10 > 0.
• Для -2 < х < 1/3: (0)^2 + 5(0) - 2 = -2 < 0.
• Для х > 1/3: 3(1)^2 + 5(1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 > 0.
• Ответ: (-2, 1/3).
3. в. х^2 + 12х + 40 > 0
• Находим дискриминант: D = 12^2 - 4 * 1 * 40 = 144 - 160 = -16. Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней.
• Так как парабола открыта вверх, она всегда больше 0.
• Ответ: (-∞, +∞).
4. г. -4х^2 + 12х - 9 < 0
• Находим корни: -4х^2 + 12х - 9 = 0. Умножим на -1: 4х^2 - 12х + 9 = 0. D = 12^2 - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0. Корень: х = 12 / 8 = 3/2.
• Парабола открыта вниз, и она равна 0 в одной точке х = 3/2.
• Ответ: (-∞, 3/2).
5. д. х^2 - 5х - 50 < 0
• Находим корни: х^2 - 5х - 50 = 0. D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-50) = 25 + 200 = 225. Корни: х = (5 ± 15) / 2, х = 10 и х = -5.
• Определяем знаки на интервалах: (-∞, -5), (-5, 10), (10, +∞).
• Проверяем знак в каждом интервале:
• Для х < -5: (-6)^2 - 5(-6) - 50 = 36 + 30 - 50 = 16 > 0.
• Для -5 < х < 10: (0)^2 - 5(0) - 50 = -50 < 0.
• Для х > 10: (11)^2 - 5(11) - 50 = 121 - 55 - 50 = 16 > 0.
• Ответ: (-5, 10).
6. е. 9х^2 + 6х + 1 > 0
• Находим дискриминант: D = 6^2 - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0. Корень: х = -6 / 18 = -1/3.
• Парабола открыта вверх и равна 0 в одной точке, значит, она всегда больше 0.
• Ответ: (-∞, +∞).

Таким образом, мы разобрали каждое из неравенств и нашли их решения. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!