Как можно вычислить площадь области, ограниченной кривыми y=x^2+1, y=4-2x, y=0 и вертикальной линией x=0, применяя интегралы?

Математика 9 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций вычисление площади интегралы кривые математика 9 класс область ограниченные кривыми y=x^2+1 y=4-2x вертикальная линия x=0

Для вычисления площади области, ограниченной кривыми y=x^2+1, y=4-2x, y=0 и вертикальной линией x=0, мы можем использовать интегралы. Давайте разберем шаги решения этой задачи:

1. Найти точки пересечения кривых.

   Для этого приравняем уравнения y=x^2+1 и y=4-2x:

   • x^2 + 1 = 4 - 2x
   • Переносим все в одну сторону: x^2 + 2x - 3 = 0
   • Решаем квадратное уравнение: (x + 3)(x - 1) = 0
   • Таким образом, точки пересечения: x = -3 и x = 1.
2. Определить область интегрирования.

   Нас интересует область между кривыми от x = 0 до x = 1, так как x = 0 является вертикальной линией, ограничивающей область:

3. Записать интеграл для площади.

   Площадь области будет равна разнице между верхней и нижней функциями, интегрированной по x от 0 до 1:

   Площадь = ∫ от 0 до 1 (верхняя функция - нижняя функция) dx.

   В нашем случае верхняя функция - это y = 4 - 2x, а нижняя функция - y = x^2 + 1.

4. Записать интеграл:

   Площадь = ∫ от 0 до 1 [(4 - 2x) - (x^2 + 1)] dx.

   Упрощаем выражение под интегралом:

   Площадь = ∫ от 0 до 1 (3 - 2x - x^2) dx.

5. Вычислить интеграл:

   Теперь найдем неопределенный интеграл:

   ∫ (3 - 2x - x^2) dx = 3x - x^2 - (1/3)x^3 + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

6. Подставить пределы:

   Площадь = [3(1) - (1)^2 - (1/3)(1)^3] - [3(0) - (0)^2 - (1/3)(0)^3].

   Площадь = [3 - 1 - 1/3] - [0].

   Площадь = 2 - 1/3 = 6/3 - 1/3 = 5/3.

Таким образом, площадь области, ограниченной заданными кривыми, равна 5/3.

Вычисление площади области, ограниченной кривыми, — это действительно увлекательная задача! Давай разберемся, как это сделать шаг за шагом, используя интегралы!

1. Найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения:
• y = x^2 + 1
• y = 4 - 2x

Решая уравнение x^2 + 1 = 4 - 2x, мы можем привести его к стандартному виду:

x^2 + 2x - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.

Корни будут:

• x1 = (-2 + 4) / 2 = 1
• x2 = (-2 - 4) / 2 = -3

Таким образом, точки пересечения: (1, 2) и (-3, 10).

2. Определим границы интегрирования. Нам нужно учитывать область, ограниченную вертикальной линией x = 0, поэтому будем интегрировать от -3 до 0.
3. Запишем интеграл для площади. Площадь области можно найти, используя интеграл:

Площадь = ∫(верхняя кривая - нижняя кривая) dx.

В нашем случае верхняя кривая — это 4 - 2x, а нижняя — x^2 + 1.

4. Запишем интеграл:

Площадь = ∫ от -3 до 0 ((4 - 2x) - (x^2 + 1)) dx.

Упростим выражение внутри интеграла:

Площадь = ∫ от -3 до 0 (3 - 2x - x^2) dx.

5. Вычислим интеграл. Найдем первообразную:

Площадь = [3x - x^2 - (2/3)x^3] от -3 до 0.

Теперь подставим границы:

Площадь(0) - Площадь(-3).

Площадь(0) = 0.

Площадь(-3) = 3*(-3) - (-3)^2 - (2/3)*(-3)^3 = -9 - 9 + 18 = 0.

Таким образом, Площадь = 0 - (-9) = 9.

Итак, площадь области, ограниченной заданными кривыми, равна 9! Это просто шикарно, не правда ли? Интегралы помогают нам находить такие захватывающие вещи, как площадь! Удачи в изучении математики!