Как найти косинус угла альфа между векторами АВ и СД, если даны четыре точки: А(0;1; –1), В(1; –1;2), С(3;1;0), D(2; –3;1)?

Математика 9 класс Скалярное произведение векторов косинус угла векторы точки математика 9 класс вектор AB вектор CD угол между векторами координаты точек вычисление косинуса геометрия векторная алгебра формула косинуса угла Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами, сначала нужно определить сами векторы, затем найти их скалярное произведение и длины. После этого можно использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

1. Найдем координаты векторов AB и CD:
   • Вектор AB: Чтобы найти координаты вектора AB, вычтем координаты точки A из координат точки B:
     • AB = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z)
     • AB = (1 - 0; -1 - 1; 2 - (-1)) = (1; -2; 3)
   • Вектор CD: Аналогично, вычтем координаты точки C из координат точки D:
     • CD = (D_x - C_x; D_y - C_y; D_z - C_z)
     • CD = (2 - 3; -3 - 1; 1 - 0) = (-1; -4; 1)
2. Найдем скалярное произведение векторов AB и CD:
   • Скалярное произведение: AB • CD = (1)(-1) + (-2)(-4) + (3)(1)
   • AB • CD = -1 + 8 + 3 = 10
3. Найдем длины векторов AB и CD:
   • Длина вектора AB: |AB| = √(1² + (-2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14
   • Длина вектора CD: |CD| = √((-1)² + (-4)² + 1²) = √(1 + 16 + 1) = √18
4. Найдем косинус угла между векторами AB и CD:
   • Формула косинуса угла: cos(α) = (AB • CD) / (|AB| * |CD|)
   • Подставим наши значения: cos(α) = 10 / (√14 * √18)
   • cos(α) = 10 / √252
   • Упростим: cos(α) = 10 / (√(36 * 7)) = 10 / (6√7) = 5 / (3√7)
   • Для удобства можно домножить числитель и знаменатель на √7: cos(α) = (5√7) / 21

Таким образом, косинус угла между векторами AB и CD равен (5√7) / 21.