Чтобы решить неравенство (2x^2 - 4x) / (x - 4) > 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Найдем нули числителя

Сначала нужно найти, когда числитель равен нулю. То есть, решим уравнение:

2x^2 - 4x = 0

Мы можем вынести общий множитель:

2x(x - 2) = 0

Теперь у нас есть два решения:

• x = 0
• x = 2

Шаг 2: Найдем нули знаменателя

Теперь найдем, когда знаменатель равен нулю, так как в этих точках выражение не определено:

x - 4 = 0

Отсюда получаем:

• x = 4

Шаг 3: Определим интервалы

Теперь у нас есть три ключевых значения: 0, 2 и 4. Эти значения разделяют числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 0)
• (0, 2)
• (2, 4)
• (4, +∞)

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале

Теперь мы проверим знак выражения (2x^2 - 4x) / (x - 4) на каждом из интервалов. Для этого подберем тестовые значения из каждого интервала:

1. Для интервала (-∞, 0): возьмем x = -1
2. Для интервала (0, 2): возьмем x = 1
3. Для интервала (2, 4): возьмем x = 3
4. Для интервала (4, +∞): возьмем x = 5

Шаг 5: Подставим тестовые значения

• Для x = -1: (2(-1)^2 - 4(-1)) / (-1 - 4) = (2 + 4) / (-5) = 6 / (-5) < 0
• Для x = 1: (2(1)^2 - 4(1)) / (1 - 4) = (2 - 4) / (-3) = -2 / (-3) > 0
• Для x = 3: (2(3)^2 - 4(3)) / (3 - 4) = (18 - 12) / (-1) = 6 / (-1) < 0
• Для x = 5: (2(5)^2 - 4(5)) / (5 - 4) = (50 - 20) / (1) = 30 / 1 > 0

Шаг 6: Запишем интервалы с положительными значениями

Теперь мы можем записать, где выражение положительно:

• (0, 2)
• (4, +∞)

Шаг 7: Учтем нули и точки разрыва

Так как в точках x = 0 и x = 2 выражение равно нулю, а в точке x = 4 выражение не определено, мы не включаем эти точки в ответ. Таким образом, решение неравенства будет:

Ответ: (0, 2) U (4, +∞)