Как вычислить неопределенный интеграл ∫ (cos 2x) / (cos² x) dx?

Математика 9 класс Неопределенные интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла интеграл cos 2x интеграл cos² x математика 9 класс Новый

Чтобы вычислить неопределенный интеграл ∫ (cos 2x) / (cos² x) dx, давайте воспользуемся некоторыми тригонометрическими преобразованиями и свойствами интегралов. Следуем шагам:

1. Используем формулу для cos 2x:

   Сначала вспомним, что cos 2x = cos² x - sin² x. Мы можем выразить cos 2x через cos x:

   cos 2x = 2cos² x - 1.

2. Подставляем в интеграл:

   Теперь подставим это выражение в интеграл:

   ∫ (cos 2x) / (cos² x) dx = ∫ (2cos² x - 1) / (cos² x) dx.

3. Упрощаем дробь:

   Разделим каждое слагаемое:

   ∫ (2cos² x / cos² x - 1 / cos² x) dx = ∫ (2 - sec² x) dx.

4. Интегрируем каждое слагаемое:

   Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:

   • ∫ 2 dx = 2x.
   • ∫ sec² x dx = tan x.

   Таким образом, получаем:

   ∫ (cos 2x) / (cos² x) dx = 2x - tan x + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ: ∫ (cos 2x) / (cos² x) dx = 2x - tan x + C.