Вычислите неопределенные интегралы:

1. Неопределенный интеграл (3-2x)/(5x^2+7) dx
2. Неопределенный интеграл (x+4)dx/(x^2(x-1))

Математика 9 класс Неопределенные интегралы неопределенные интегралы вычисление интегралов математика 9 класс интегралы примеры интегралы с дробями Новый

Давайте вычислим оба неопределенных интеграла по очереди.

1. Интеграл (3-2x)/(5x^2+7) dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби. Сначала мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

• Интеграл от 3/(5x^2+7) dx
• Интеграл от -2x/(5x^2+7) dx

Теперь рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности.

Первый интеграл:

Интеграл от 3/(5x^2+7) dx можно решить, используя подстановку. Обозначим:

u = 5x^2 + 7, тогда du = 10x dx, или dx = du/(10x).

Однако, в этом случае нам нужно выразить x через u. Это может усложнить задачу, поэтому мы можем просто использовать таблицы интегралов или известные формулы.

Согласно таблицам, интеграл от 1/(ax^2+b) имеет вид:

∫ dx/(ax^2 + b) = (1/√(ab)) * arctan(√(a/b) * x) + C.

В нашем случае a = 5 и b = 7, следовательно:

Интеграл от 3/(5x^2+7) dx = 3/√(5*7) * arctan(√(5/7) * x) + C1.

Второй интеграл:

Интеграл от -2x/(5x^2+7) dx можно решить с помощью подстановки:

u = 5x^2 + 7, тогда du = 10x dx, или dx = du/(10x).

Таким образом, мы можем выразить интеграл как:

∫ -2x/(5x^2+7) dx = -2/10 ∫ du/u = -1/5 ln|5x^2 + 7| + C2.

Теперь объединим результаты:

∫ (3-2x)/(5x^2+7) dx = (3/√(35)) * arctan(√(5/7) * x) - (1/5) ln|5x^2 + 7| + C.

2. Интеграл (x+4)/(x^2(x-1)) dx

Для вычисления этого интеграла также используем метод разложения на простейшие дроби:

Мы можем представить дробь в виде:

(x+4)/(x^2(x-1)) = A/x + B/x^2 + C/(x-1).

Теперь умножим обе стороны на знаменатель x^2(x-1):

x + 4 = A*x*(x-1) + B*(x-1) + C*x^2.

Теперь подставим различные значения x, чтобы найти A, B и C:

1. При x = 0: 4 = B*(-1) => B = -4.
2. При x = 1: 5 = C*1^2 => C = 5.
3. При x = -1: -1 = A*(-1)*(-2) -4*(-2) + 5*(-1) => A = -1.

Теперь мы имеем:

(x + 4)/(x^2(x - 1)) = -1/x + -4/x^2 + 5/(x - 1).

Теперь можем интегрировать каждую часть:

• ∫ -1/x dx = -ln|x| + C1.
• ∫ -4/x^2 dx = 4/x + C2.
• ∫ 5/(x-1) dx = 5ln|x-1| + C3.

Соберем все вместе:

∫ (x + 4)/(x^2(x - 1)) dx = -ln|x| + 4/x + 5ln|x - 1| + C.

Ответы:

• ∫ (3 - 2x)/(5x^2 + 7) dx = (3/√(35)) * arctan(√(5/7) * x) - (1/5) ln|5x^2 + 7| + C.
• ∫ (x + 4)/(x^2(x - 1)) dx = -ln|x| + 4/x + 5ln|x - 1| + C.