Чтобы найти первообразную для данных функций, мы будем использовать основные правила интегрирования. Первообразная функции f(x) - это функция F(x), производная которой равна f(x). Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Для нахождения первообразной этой функции, мы будем использовать правило интегрирования степенной функции:

• ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.

Теперь применим это правило к каждому члену:

1. Первая часть: ∫ 5x^2 dx = 5 * (x^(2+1))/(2+1) = 5 * (x^3)/3 = (5/3)x^3.
2. Вторая часть: ∫ 4x dx = 4 * (x^(1+1))/(1+1) = 4 * (x^2)/2 = 2x^2.
3. Третья часть: ∫ 1 dx = x.

Теперь объединим все найденные первообразные:

F(x) = (5/3)x^3 + 2x^2 + x + C.

Для нахождения первообразной этой функции мы используем следующие правила:

• ∫ e^x dx = e^x + C.
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C.

Теперь применим эти правила:

1. Первая часть: ∫ e^x dx = e^x.
2. Вторая часть: ∫ 2cos(x) dx = 2 * sin(x).

Таким образом, первообразная будет:

F(x) = e^x + 2sin(x) + C.

Для нахождения первообразной этой функции мы можем переписать дроби в виде степеней:

• 2/x = 2x^(-1),
• 1/x^5 = x^(-5).

Теперь применим правило интегрирования:

• ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, при n ≠ -1.

Теперь применим это правило к каждому члену:

1. Первая часть: ∫ 2x^(-1) dx = 2 * ln|x|.
2. Вторая часть: ∫ x^(-5) dx = (x^(-5+1))/(-5+1) = (x^(-4))/(-4) = -1/4x^4.

Теперь объединим все найденные первообразные:

F(x) = 2ln|x| - (1/4)x^4 + C.

Таким образом, мы нашли первообразные для всех трех функций.