Является ли функция f(x) первообразной для функции f(x) = (x^2 - 5x + 4) / (x + 2)?

Математика 9 класс Интегралы и первообразные функция f(x) первообразная математика 9 класс дробная функция производная функции Новый

Чтобы определить, является ли функция f(x) = (x^2 - 5x + 4) / (x + 2) первообразной, нам нужно сначала разобраться с самим выражением и его производной. Первообразная функции - это такая функция, производная которой равна данной функции.

1. Сначала найдем производную функции f(x).

Для этого мы будем использовать правило деления производных. Если у нас есть функция в виде u(x)/v(x), то производная этой функции определяется по формуле:

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2

где u(x) = x^2 - 5x + 4 и v(x) = x + 2.

2. Находим u'(x) и v'(x):

• u'(x) = 2x - 5 (производная от x^2 - 5x + 4)
• v'(x) = 1 (производная от x + 2)

3. Теперь подставим все в формулу производной:

f'(x) = [(2x - 5)(x + 2) - (x^2 - 5x + 4)(1)] / (x + 2)^2

4. Упростим числитель:

• Раскроем скобки: (2x - 5)(x + 2) = 2x^2 + 4x - 5x - 10 = 2x^2 - x - 10.
• Теперь вычтем (x^2 - 5x + 4): 2x^2 - x - 10 - (x^2 - 5x + 4) = 2x^2 - x - 10 - x^2 + 5x - 4 = x^2 + 4x - 14.

Таким образом, мы получаем:

f'(x) = (x^2 + 4x - 14) / (x + 2)^2.

5. Теперь сравним f(x) и f'(x):

Мы видим, что f'(x) не равна f(x). Следовательно, функция f(x) не является первообразной для самой себя.

Ответ: Функция f(x) = (x^2 - 5x + 4) / (x + 2) не является первообразной для самой себя.