Какое количество «особенных» натуральных чисел n, для которых произведение всех его натуральных делителей равно n2, находится в диапазоне от 10 до 40 включительно?

Математика 9 класс Натуральные числа и их свойства особенные натуральные числа произведение делителей натуральные делители диапазон от 10 до 40 математика задача по математике Новый

Для решения данной задачи нам нужно определить, что такое «особенные» натуральные числа. Из условия видно, что мы ищем такие числа n, для которых произведение всех его натуральных делителей равно n².

Давайте вспомним, как мы можем найти произведение всех делителей числа n. Если n имеет делители d1, d2, ..., dk, то произведение всех делителей можно записать как:

d1 * d2 * ... * dk = n^(k/2),

где k - количество делителей числа n. Это происходит потому, что каждый делитель d может быть сопоставлен с делителем n/d, и их произведение равно n.

Теперь, чтобы произведение всех делителей равно n², необходимо, чтобы:

n^(k/2) = n².

Это равенство выполняется, когда:

k/2 = 2,

что дает нам k = 4. Таким образом, мы ищем такие числа n, у которых ровно 4 делителя.

Теперь давайте разберемся, при каких условиях у числа n может быть ровно 4 делителя:

• Если n является простым числом p, то его делители: 1 и p. В этом случае k = 2.
• Если n является произведением двух различных простых чисел p и q, то его делители: 1, p, q и pq. В этом случае k = 4.
• Если n является квадратом простого числа p (то есть n = p²), то его делители: 1, p и p². В этом случае k = 3.

Таким образом, единственный случай, когда у n ровно 4 делителя, это когда n является произведением двух различных простых чисел.

Теперь давайте найдем все такие числа n в диапазоне от 10 до 40 включительно:

1. 10 = 2 * 5
2. 14 = 2 * 7
3. 15 = 3 * 5
4. 21 = 3 * 7
5. 22 = 2 * 11
6. 26 = 2 * 13
7. 33 = 3 * 11
8. 34 = 2 * 17
9. 35 = 5 * 7

Теперь проверим, сколько таких «особенных» чисел мы нашли:

• 10
• 14
• 15
• 21
• 22
• 26
• 33
• 34
• 35

Всего мы нашли 9 чисел, которые являются произведением двух различных простых чисел.

Ответ: В диапазоне от 10 до 40 включительно находится 9 «особенных» натуральных чисел n.