На доске написано три различных натуральных числа, причём большее из них равно 50. Оказалось, что произведение написанных чисел равно квадрату некоторого натурального числа. Какое максимальное значение могло иметь самое меньшее из выписанных чисел?

Математика 9 класс Натуральные числа и их свойства натуральные числа произведение квадрат максимальное значение математика Новый

Рассмотрим задачу о трех различных натуральных числах, где одно из них равно 50, а произведение этих чисел является квадратом некоторого натурального числа.

Обозначим три числа как a, b и c, где c = 50, a < b < c. Тогда произведение этих чисел можно записать как:

P = a * b * c = a * b * 50.

Чтобы произведение P было квадратом натурального числа, необходимо, чтобы все простые множители в разложении P имели четкие степени. Поскольку 50 = 2 * 5^2, это означает, что в разложении a и b должны быть такие множители, которые обеспечивают четность степеней всех простых чисел.

Разложим 50 на простые множители:

• 50 = 2^1 * 5^2.

Теперь мы должны выяснить, какие числа a и b могут быть выбраны так, чтобы произведение a * b * 50 имело четные степени всех простых множителей.

Для этого рассмотрим, как a и b могут быть разложены на простые множители:

• Поскольку 50 имеет один множитель 2, то в произведении a * b должно быть еще один множитель 2, чтобы степень 2 стала четной.
• Степень множителя 5 уже четная (2), поэтому a и b могут содержать 5, но не обязательно.

Исходя из этого, a должно быть четным числом, чтобы компенсировать нечетность 2 в 50. Рассмотрим максимальное значение a, которое будет меньше b и 50.

Пусть a = 48 (максимальное четное число меньше 50). Тогда b должно быть таким, чтобы произведение a * b * 50 было квадратом. Подставим a и решим для b:

P = 48 * b * 50 = 2400b.

Теперь разложим 2400 на простые множители:

• 2400 = 2^5 * 3^1 * 5^2.

Чтобы P было квадратом, степени всех простых множителей должны быть четными. Степень 3 является нечетной, следовательно, b должно содержать хотя бы один множитель 3. Если b = 3, то:

P = 48 * 3 * 50 = 7200.

Разложим 7200 на простые множители:

• 7200 = 2^6 * 3^2 * 5^2.

Теперь все степени четные, и это подходит под условие.

Таким образом, максимальное значение a, которое удовлетворяет всем условиям задачи, равно 48. Проверим, можем ли мы найти большее значение a, но в этом случае оно должно быть четным и меньше 50, что ограничивает нас только до 48.

Ответ: Максимальное значение самого меньшего из выписанных чисел равно 48.