Каков результат вычисления выражения: (1² + 1•2 + 2²) + (2² + 2•3 + 3²) + (3² + 3•4 + 4²) + ..... + (98² + 98•99 + 99²) + (99² + 99•100 + 100²)?

Математика 9 класс Суммы и последовательности математика 9 класс вычисление выражения сумма квадратов математические выражения алгебра задачи на суммы формулы для сумм Новый

Для того чтобы вычислить данное выражение, начнем с анализа его структуры. Мы видим, что оно состоит из суммы нескольких однотипных выражений. Обозначим общее выражение, которое мы будем вычислять:

Общее выражение: (n² + n(n + 1) + (n + 1)²)

Теперь упростим это выражение:

1. Распишем каждую часть:
• n² — это просто n².
• n(n + 1) — это n² + n.
• (n + 1)² — это n² + 2n + 1.
2. Теперь сложим все три части:
• n² + (n² + n) + (n² + 2n + 1) = 3n² + 3n + 1.

Таким образом, каждое выражение в сумме можно заменить на 3n² + 3n + 1.

Теперь нам нужно посчитать сумму от n = 1 до n = 99:

Сумма: S = Σ (3n² + 3n + 1) от n = 1 до 99.

Разделим эту сумму на три части:

1. 3 * Σ n² от n = 1 до 99.
2. 3 * Σ n от n = 1 до 99.
3. Сумма единиц: Σ 1 от n = 1 до 99.

Теперь посчитаем каждую из этих сумм:

• Сумма квадратов: Σ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Для n = 99:
• 99 * 100 * 199 / 6 = 328350.
• Сумма натуральных чисел: Σ n = n(n + 1)/2. Для n = 99:
• 99 * 100 / 2 = 4950.
• Сумма единиц: Σ 1 = 99.
• Теперь подставим эти значения в нашу сумму:

S = 3 * 328350 + 3 * 4950 + 99.

Посчитаем каждую часть:

• 3 * 328350 = 985050.
• 3 * 4950 = 14850.
• Сложим все части: 985050 + 14850 + 99 = 1000000.

Итак, итоговый результат вычисления выражения равен 1000000.