Каковы свойства функций F(x)=10x^-2,5√x и f(x)=-20/x^3 на интервале x Є (0;+[infinity])?

Математика 9 класс Свойства функций свойства функций F(x)=10x^-2,5√x f(x)=-20/x^3 интервал x Є (0;+∞) анализ функций математика 9 класс функции и их свойства Новый

Давайте рассмотрим функции F(x) = 10x^(-2.5)√x и f(x) = -20/x^3 на интервале x ∈ (0; +∞). Мы будем исследовать их свойства, такие как область определения, поведение на границах, монотонность и наличие экстремумов.

1. Область определения:

• Для F(x) = 10x^(-2.5)√x:
  • Функция определена на интервале (0; +∞), так как подкоренное выражение √x требует, чтобы x было больше 0.
• Для f(x) = -20/x^3:
  • Эта функция также определена на интервале (0; +∞), так как деление на x^3 не допускает значения x равным 0.

2. Поведение на границах:

• Для F(x):
  • При x → 0: F(x) стремится к +∞, так как √x стремится к 0, а x^(-2.5) стремится к +∞.
  • При x → +∞: F(x) стремится к 0, так как x^(-2.5) будет доминировать над √x.
• Для f(x):
  • При x → 0: f(x) стремится к -∞, так как -20/x^3 стремится к -∞.
  • При x → +∞: f(x) стремится к 0, так как -20/x^3 стремится к 0.

3. Монотонность:

• Для F(x):
  • Найдем производную F'(x):
    • F'(x) = d/dx(10x^(-2.5)√x) = 10 * (-2.5)x^(-3.5)√x + 10x^(-2.5)(1/2√x) = 10 * (-2.5)x^(-3.5)√x + 5x^(-3).
  • Анализируя знак F'(x), можно определить, что F(x) убывает на интервале (0; +∞).
• Для f(x):
  • Найдем производную f'(x):
    • f'(x) = d/dx(-20/x^3) = 60/x^4, которая всегда положительна на (0; +∞).
  • Следовательно, f(x) возрастает на интервале (0; +∞).

4. Наличие экстремумов:

• Для F(x):
  • Поскольку F(x) убывает на всем интервале, экстремумов нет.
• Для f(x):
  • Поскольку f(x) возрастает на всем интервале, экстремумов также нет.

В заключение, мы можем сказать, что:

• F(x) убывает от +∞ до 0 на интервале (0; +∞).
• f(x) возрастает от -∞ до 0 на интервале (0; +∞).