Каковы значения чисел а и б, если три числа а, б и 12 образуют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа а, б и 9 составляют арифметическую прогрессию? Найдите сумму а и б.

Математика 9 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии возрастающая геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма чисел а и б значения чисел а и б математика 9 класс Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое геометрическая и арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же число (называемое знаменателем прогрессии).

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными числами постоянна.

В данной задаче у нас есть два условия:

1. Числа а, б и 12 образуют возрастающую геометрическую прогрессию.
2. Числа а, б и 9 составляют арифметическую прогрессию.

Начнем с первого условия. Если числа а, б и 12 образуют геометрическую прогрессию, то мы можем записать следующее соотношение:

б / а = 12 / б.

Перемножив, получаем: б^2 = 12а.

Теперь выразим б через а:

б = √(12а).

Теперь перейдем ко второму условию. Если а, б и 9 образуют арифметическую прогрессию, то:

(б - а) = (9 - б).

Упрощаем это уравнение:

2б = а + 9.

Теперь выразим а через б:

а = 2б - 9.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. б = √(12а)
2. а = 2б - 9.

Подставим второе уравнение в первое:

б = √(12(2б - 9)).

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

б^2 = 12(2б - 9).

Раскроем скобки:

б^2 = 24б - 108.

Переносим все в одну сторону:

б^2 - 24б + 108 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 1 * 108 = 576 - 432 = 144.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения:

б1 = (24 + √144) / 2 = (24 + 12) / 2 = 18.

б2 = (24 - √144) / 2 = (24 - 12) / 2 = 6.

Теперь подставим найденные значения б обратно в уравнение для а:

• Если б = 18, то а = 2 * 18 - 9 = 36 - 9 = 27.
• Если б = 6, то а = 2 * 6 - 9 = 12 - 9 = 3.

Теперь у нас есть два возможных набора значений (а, б): (27, 18) и (3, 6).

В первом случае: 27 + 18 = 45.

Во втором случае: 3 + 6 = 9.

Так как числа а, б и 12 должны образовывать возрастающую геометрическую прогрессию, проверим оба случая:

• Для (27, 18, 12): 27 > 18 > 12 - не подходит.
• Для (3, 6, 9): 3 < 6 < 9 - подходит.

Таким образом, правильные значения а и б: а = 3 и б = 6.

Сумма а и б равна: 3 + 6 = 9.