Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым, десятым членами арифметической прогрессии. Как найти первый член геометрической прогрессии?

Математика 9 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии первый член прогрессии арифметическая прогрессия члены прогрессии математическая задача Новый

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвертый член: a * q^3
• Пятый член: a * q^4

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62, поэтому мы можем записать уравнение:

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 62

Это уравнение можно упростить, используя формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q), где n - количество членов. В нашем случае n = 5:

Таким образом, у нас есть:

S_5 = a * (1 - q^5) / (1 - q) = 62.

Теперь перейдем к условиям задачи о членах арифметической прогрессии.

Пятый член геометрической прогрессии равен a * q^4, восьмой член равен a * q^7, а одиннадцатый член равен a * q^{10}.

Эти члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Обозначим первый член арифметической прогрессии как A, а разность как d.

Тогда у нас есть:

• Первый член: A = a * q^4
• Второй член: A + d = a * q^7
• Десятый член: A + 9d = a * q^{10}

Теперь у нас есть система уравнений:

1. A = a * q^4
2. A + d = a * q^7
3. A + 9d = a * q^{10}

Подставим значение A из первого уравнения во второе:

a q^4 + d = a q^7

Отсюда можно выразить d:

d = a q^7 - a q^4 = a * q^4 (q^3).

Теперь подставим d в третье уравнение:

a q^4 + 9 (a q^4 q^3) = a * q^{10}.

Это упростится до:

a q^4 + 9a q^7 = a * q^{10}.

Если a ≠ 0, мы можем сократить на a:

q^4 + 9q^7 = q^{10}.

Преобразуем это уравнение:

q^{10} - 9q^7 - q^4 = 0.

Теперь вынесем q^4 за скобки:

q^4(q^6 - 9q^3 - 1) = 0.

Это дает нам одно решение: q = 0, что не подходит, так как q - это знаменатель прогрессии. Мы решаем уравнение:

q^6 - 9q^3 - 1 = 0.

Обозначим x = q^3. Тогда у нас получится кубическое уравнение:

x^2 - 9x - 1 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-9)^2 - 4 1 (-1) = 81 + 4 = 85.

Находим корни:

x1 = (9 + sqrt(85)) / 2, x2 = (9 - sqrt(85)) / 2.

Теперь вернемся к q:

q = (x1)^(1/3) или q = (x2)^(1/3).

Теперь, зная q, мы можем подставить его значение в уравнение для суммы, чтобы найти a:

a * (1 - q^5) / (1 - q) = 62.

Таким образом, мы можем найти первый член геометрической прогрессии a. Убедитесь, что вы подставляете правильные значения и решаете уравнение.