При каких целых значениях а уравнение x4 + ах + 1 = 0 имеет целые корни?

Математика 9 класс Алгебраические уравнения целые значения а уравнение x4 + ах + 1 = 0 целые корни решение уравнения математические задачи Новый

Рассмотрим уравнение x^4 + ax + 1 = 0. Нам необходимо найти такие целые значения a, при которых это уравнение имеет целые корни. Для этого будем использовать метод подбора целых корней и анализировать полученные результаты.

Сначала обозначим целый корень уравнения как k. Подставим его в уравнение:

k^4 + ak + 1 = 0.

Отсюда выразим a:

a = - (k^4 + 1) / k, если k ≠ 0.

Теперь рассмотрим значения k, которые могут быть целыми. Поскольку a должно быть целым, выражение -(k^4 + 1) / k также должно быть целым. Это возможно, если k делит k^4 + 1.

Рассмотрим несколько целых значений k:

• k = 1:
  • Подставляем: a = -(1^4 + 1) / 1 = -2.
• k = -1:
  • Подставляем: a = -((-1)^4 + 1) / (-1) = 2.
• k = 2:
  • Подставляем: a = -(2^4 + 1) / 2 = -9/2 (не целое).
• k = -2:
  • Подставляем: a = -((-2)^4 + 1) / (-2) = 9/2 (не целое).
• k = 3:
  • Подставляем: a = -(3^4 + 1) / 3 = -82/3 (не целое).
• k = -3:
  • Подставляем: a = -((-3)^4 + 1) / (-3) = 82/3 (не целое).

Таким образом, из рассмотренных целых значений k мы видим, что только при k = 1 и k = -1 мы получили целые значения a: -2 и 2 соответственно.

Теперь проверим, действительно ли эти значения a дают целые корни:

• a = -2: Уравнение x^4 - 2x + 1 = 0. Подставим x = 1: 1 - 2 + 1 = 0 - корень.
• a = 2: Уравнение x^4 + 2x + 1 = 0. Подставим x = -1: 1 - 2 + 1 = 0 - корень.

Таким образом, уравнение x^4 + ax + 1 = 0 имеет целые корни при целых значениях a = -2 и a = 2.