Чтобы найти площади треугольников ABM и MND, начнем с анализа данных, которые у нас есть.

Дано:

• Длина BM = 15
• Длина BN = 13
• Длина AC = 28

Поскольку M и N делят стороны AD и DC пополам, мы можем сказать, что:

• AM = MD
• CN = ND

Сначала найдем площадь треугольника ABM. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * основание * высота

В нашем случае основанием будет отрезок AB, а высотой – расстояние от точки M до прямой AB.

Однако, чтобы использовать эту формулу, нам нужно знать длину AB. Мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны, и диагонали пересекаются в своих серединах.

Используем теорему о средней линии в треугольнике. Поскольку M и N – середины сторон AD и DC, отрезок MN будет параллелен стороне AB и равен половине её длины.

Теперь найдем длину MN:

MN = 0.5 * AB

Также, используя свойства треугольника BNM, мы можем найти длину BM и BN:

По теореме Пифагора для треугольника BNM:

BN^2 + MN^2 = BM^2

Подставим известные значения:

13^2 + MN^2 = 15^2

169 + MN^2 = 225

MN^2 = 225 - 169 = 56

MN = √56 = 2√14

Теперь, зная длину MN, мы можем выразить AB:

2√14 = 0.5 * AB

Следовательно:

AB = 4√14

Теперь можем найти площадь треугольника ABM:

Площадь ABM = 0.5 * AB * высота (расстояние от M до AB)

Но нам нужно будет знать высоту. Мы можем воспользоваться тем, что высота будет равна длине BM, так как BM перпендикулярно AB (в параллелограмме высоты опускаются на противоположные стороны).

Итак, площадь треугольника ABM:

Площадь ABM = 0.5 * (4√14) * 15 = 30√14

Теперь перейдем к треугольнику MND. Площадь этого треугольника также можно найти по аналогичной формуле:

Площадь MND = 0.5 * MN * высота (расстояние от D до MN)

Так как MN параллельно AB, высота будет равна длине BN, которая равна 13.

Итак, площадь треугольника MND:

Площадь MND = 0.5 * (2√14) * 13 = 13√14

Итак, площади треугольников:

• Площадь треугольника ABM = 30√14
• Площадь треугольника MND = 13√14