В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 4, а диагональ AC равна 12. Биссектриса угла ACB пересекает диагональ BD в точке K такой, что BK:KD=1:7. Какова длина основания AD?

Математика 9 класс Геометрия. Трапеции трапеция ABCD основание BC диагональ AC биссектриса угла ACB точка K длина основания AD Новый

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами трапеции и некоторыми геометрическими соотношениями.

Дано:

• Меньшее основание BC = 4
• Диагональ AC = 12
• Отношение отрезков BK и KD равно 1:7

Обозначим длину основания AD как x.

Так как BK:KD = 1:7, это означает, что если BK = 1k, то KD = 7k для некоторого k. Тогда длина отрезка BD будет равна:

BD = BK + KD = 1k + 7k = 8k.

Теперь воспользуемся теоремой о биссектрисе угла. Она гласит, что отношение отрезков, на которые делится биссектрисой угол, равно отношению длин оснований трапеции. То есть:

BK/KD = AB/AD.

Подставим известные величины:

1/7 = AB/x.

Отсюда следует, что:

AB = (1/7)x.

Теперь применим теорему о площади трапеции. Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту:

Площадь = (BC + AD) * h / 2.

Но также мы можем выразить площадь через диагонали и угол между ними. Площадь = 1/2 * AC * BD * sin(угол ACB).

Однако, для упрощения, воспользуемся свойством биссектрисы. Известно, что:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(угол ACB).

Подставим известные значения:

12^2 = (1/7)x^2 + 4^2 - 2 * (1/7)x * 4 * cos(угол ACB).

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной x. Однако, чтобы решить его, нам нужно знать угол ACB или его косинус, что может быть сложно.

Вместо этого, давайте воспользуемся тем, что у нас есть отношение отрезков BK и KD. Мы знаем, что:

AD = BC + (AB - BC) * (7/1) = 4 + (1/7)x * 7 = 4 + x.

Теперь у нас есть система уравнений:

• AD = x
• x = 4 + (1/7)x.

Решим это уравнение:

x - (1/7)x = 4

(6/7)x = 4

x = 4 * (7/6) = 28/6 = 14/3.

Таким образом, длина основания AD равна:

14/3.

Ответ: длина основания AD составляет 14/3.