В выпуклом n-угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n-угольника равны 64° и 97°. Какое наибольшее значение может принимать n?

Математика 9 класс Сумма углов многоугольника выпуклый n-угольник углы n-угольника сумма углов целые градусы максимальное значение n Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства выпуклого многоугольника и формулы для вычисления суммы углов.

Сначала вспомним, что сумма углов в выпуклом n-угольнике рассчитывается по формуле:

Сумма углов = (n - 2) * 180°

Где n - количество сторон (углов) многоугольника.

В нашем случае нам известны два угла: 64° и 97°. Обозначим сумму остальных углов как S. Тогда мы можем записать уравнение:

S + 64° + 97° = (n - 2) * 180°

Сначала найдем сумму углов S:

S = (n - 2) * 180° - 161°

Теперь, чтобы найти наибольшее значение n, нам нужно учесть, что все углы в многоугольнике должны быть положительными и целыми числами. Следовательно, сумма S должна быть больше 0:

(n - 2) * 180° - 161° > 0

Решим это неравенство:

1. Переносим 161° в правую часть:
(n - 2) * 180° > 161°
2. Делим обе стороны на 180°:
n - 2 > 161 / 180
3. Приблизительно 161 / 180 = 0.894, следовательно:
n - 2 > 0.894
4. Таким образом, n > 2.894. Поскольку n должно быть целым числом, то n ≥ 3.

Теперь мы также знаем, что сумма всех углов (включая 64° и 97°) должна быть меньше, чем сумма углов в n-угольнике:

S + 161° < (n - 2) * 180°

Подставим S:

(n - 2) 180° - 161° + 161° < (n - 2) 180°

Это неравенство всегда будет выполняться, так как мы добавляем и вычитаем одно и то же значение.

Теперь давайте найдем максимальное значение n, при котором углы остаются положительными.

Поскольку мы знаем, что S = (n - 2) * 180° - 161°, давайте подберем максимальное значение n, чтобы S оставалось положительным:

(n - 2) * 180° > 161°

Для нахождения максимального значения n, при котором все углы остаются положительными, мы можем использовать следующее:

n - 2 < 161 / 180

Это неравенство дает нам верхнюю границу для n. Теперь проверим, что будет, если n = 8:

(8 - 2) 180° = 6 180° = 1080°

Сумма углов 64° + 97° + S = 1080°.

Таким образом:

S = 1080° - 161° = 919°

Теперь, если мы поделим 919° на 6 (количество оставшихся углов), мы получим:

919° / 6 ≈ 153.17°

Это значение больше 0 и меньше 180°, значит, все углы могут быть целыми. Проверяя на n = 9:

(9 - 2) 180° = 7 180° = 1260°

Сумма углов будет 1260° - 161° = 1099°. Делим на 7:

1099° / 7 ≈ 157°

Таким образом, максимальное возможное значение n, при котором все углы будут положительными и целыми, составляет 9.

Ответ: Наибольшее значение n может принимать 9.