Чтобы найти конус внешних нормалей к выпуклому множеству C в точке x₀ = (1, 0), сначала нужно понять, что такое конус внешних нормалей и как его вычислить.

Шаг 1: Определение множества C

Множество C задано неравенством x² + y² ≤ 1. Это означает, что C представляет собой круг радиуса 1, центрированный в начале координат (0, 0).

Шаг 2: Положение точки x₀

Точка x₀ = (1, 0) лежит на границе круга, так как при подстановке в уравнение получаем 1² + 0² = 1, что соответствует границе.

Шаг 3: Нахождение градиента

Чтобы найти конус внешних нормалей, нужно вычислить градиент функции, определяющей границу множества C. В данном случае это функция:

• f(x, y) = x² + y² - 1.

Градиент этой функции равен:

• ∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y).

Шаг 4: Вычисление градиента в точке x₀

Теперь подставим координаты точки x₀ = (1, 0) в градиент:

• ∇f(1, 0) = (2*1, 2*0) = (2, 0).

Шаг 5: Нормаль к границе

Вектор (2, 0) является нормалью к границе множества C в точке (1, 0). Однако, чтобы получить направление внешней нормали, нам нужно взять вектор, который указывает наружу от множества. В данном случае, это просто вектор (2, 0).

Шаг 6: Конус внешних нормалей

Конус внешних нормалей — это множество всех векторов, которые образуют угол с нормалью, меньший или равный 90 градусов. Поскольку у нас есть нормаль (2, 0), мы можем записать уравнение для конуса внешних нормалей:

• Конус внешних нормалей можно представить как все векторы (v₁, v₂), такие что:
• v₁ * 2 + v₂ * 0 ≥ 0, что упрощается до v₁ ≥ 0.

Таким образом, конус внешних нормалей к множеству C в точке x₀ = (1, 0) включает векторы, которые направлены вправо (в сторону положительной оси x) и могут иметь произвольное направление по оси y.

Ответ: Конус внешних нормалей к множеству C в точке (1, 0) включает все векторы (v₁, v₂), такие что v₁ ≥ 0.