lim (n→∞) (1 + 4/n - 1)^(3n)

Математика Колледж Пределы и бесконечности Новый

Чтобы найти предел lim (n→∞) (1 + 4/n - 1)^(3n), сначала упростим выражение внутри предела.

Мы можем переписать выражение следующим образом:

• 1 + 4/n - 1 = 4/n

Таким образом, предел можно переписать как:

lim (n→∞) (4/n)^(3n)

Теперь мы можем упростить это выражение:

• (4/n)^(3n) = 4^(3n) / n^(3n)

Теперь мы можем анализировать поведение этого выражения при n, стремящемся к бесконечности. Рассмотрим каждую часть:

• 4^(3n) – это экспоненциальная функция, которая растет очень быстро.
• n^(3n) – это также экспоненциальная функция, но с основанием n, которое стремится к бесконечности.

Теперь мы можем переписать предел как:

lim (n→∞) 4^(3n) / n^(3n)

Чтобы лучше понять, как ведет себя это выражение, мы можем использовать логарифмы:

lim (n→∞) (3n * log(4)) - (3n * log(n))

Теперь мы можем выделить 3n:

3n * (log(4) - log(n))

Когда n стремится к бесконечности, log(n) также стремится к бесконечности, и следовательно, log(4) - log(n) будет стремиться к -∞. Это означает, что:

lim (n→∞) 3n * (log(4) - log(n)) = -∞

Таким образом, предел:

lim (n→∞) (4/n)^(3n) = 0

Итак, окончательный ответ:

lim (n→∞) (1 + 4/n - 1)^(3n) = 0