lim (n→∞) (n + 4/n - 1)^(3n)

Математика Колледж Пределы и бесконечности предельные процессы колледж математика асимптотическое поведение Новый

Чтобы найти предел выражения lim (n→∞) (n + 4/n - 1)^(3n), давайте сначала упростим само выражение внутри предела.

1. Рассмотрим выражение (n + 4/n - 1). Мы можем упростить его при n, стремящемся к бесконечности:

• n + 4/n - 1 = n - 1 + 4/n.
• Когда n стремится к бесконечности, 4/n стремится к 0, и мы можем сказать, что n + 4/n - 1 стремится к n - 1.

2. Таким образом, (n + 4/n - 1) приближается к n - 1, и мы можем записать предел как:

lim (n→∞) (n - 1)^(3n).

3. Теперь у нас есть выражение, которое мы можем анализировать:

(n - 1)^(3n) = (n(1 - 1/n))^(3n).

4. Используя свойства пределов, мы можем переписать это как:

(n^(3n) * (1 - 1/n)^(3n)).

5. Теперь рассмотрим каждый из множителей отдельно:

• n^(3n) стремится к бесконечности, когда n стремится к бесконечности.
• (1 - 1/n)^(3n) можно переписать с использованием предела: lim (n→∞) (1 - 1/n)^(n) = e^(-1). Таким образом, (1 - 1/n)^(3n) стремится к e^(-3).

6. Теперь мы можем объединить результаты:

lim (n→∞) (n - 1)^(3n) = ∞ * e^(-3) = ∞.

Таким образом, предел lim (n→∞) (n + 4/n - 1)^(3n) равен бесконечности:

Ответ: бесконечность (∞).