Исследуйте функцию Y=2x^3-6x+4 с помощью методов дифференциального исчисления и, основываясь на полученных результатах, постройте её график.

Математика Колледж Исследование функций функция Y=2x^3-6x+4 методы дифференциального исчисления график функции исследование функции производная функции экстремумы функции анализ функции построение графика Новый

Для исследования функции Y = 2x^3 - 6x + 4 с помощью методов дифференциального исчисления, нам нужно выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить критические точки, исследовать знак производной, а затем построить график функции.

Шаг 1: Найдем производную функции

Первым делом, найдем первую производную функции Y:

• Y' = d(Y)/dx = d(2x^3)/dx - d(6x)/dx + d(4)/dx
• Y' = 6x^2 - 6

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

• 6x^2 - 6 = 0
• 6x^2 = 6
• x^2 = 1
• x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

Шаг 3: Исследуем знак производной

Теперь мы исследуем знак производной на интервалах, определенных критическими точками:

• Интервал (-∞, -1): выберем, например, x = -2
• Y'(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 (положительное)
• Интервал (-1, 1): выберем, например, x = 0
• Y'(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 (отрицательное)
• Интервал (1, ∞): выберем, например, x = 2
• Y'(2) = 6(2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 (положительное)

Таким образом, мы имеем:

• На интервале (-∞, -1) функция возрастает.
• На интервале (-1, 1) функция убывает.
• На интервале (1, ∞) функция снова возрастает.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• Y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8
• Y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0

Шаг 5: Определим типы критических точек

Теперь мы можем определить типы критических точек:

• В точке x = -1 функция имеет максимум (переход от возрастания к убыванию).
• В точке x = 1 функция имеет минимум (переход от убывания к возрастанию).

Шаг 6: Построим график функции

Теперь, основываясь на полученных данных, мы можем построить график функции. Мы знаем, что:

• Функция имеет максимум в точке (-1, 8).
• Функция имеет минимум в точке (1, 0).
• Функция убывает на интервале (-1, 1) и возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞).

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Начало графика будет идти вверх, затем достигнет максимума в точке (-1, 8).
• После этого график будет убывать до точки (1, 0), где будет минимум.
• Затем график снова будет подниматься.

Таким образом, мы провели полное исследование функции Y = 2x^3 - 6x + 4 и можем построить её график, основываясь на полученных данных.