Для исследования функции f(x) = x * 3x^2 и построения её графика, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберём их по порядку:

Сначала упростим выражение:

• f(x) = x * 3x^2 = 3x^3

Функция f(x) = 3x^3 определена для всех действительных чисел, поэтому область определения:

• Область определения: R (все действительные числа)

Для исследования свойств функции, таких как монотонность и экстремумы, найдем её производную:

• f'(x) = 9x^2

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• 9x^2 = 0
• x = 0

Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает:

• f'(x) > 0 при x > 0 (функция возрастает)
• f'(x) = 0 при x = 0
• f'(x) > 0 при x < 0 (функция также возрастает)

Таким образом, функция не имеет интервалов убывания и имеет минимум в точке x = 0.

Теперь подставим критическую точку в исходную функцию:

• f(0) = 3 * 0^3 = 0

Теперь посмотрим, что происходит с функцией, когда x стремится к бесконечности и минус бесконечности:

• При x -> +∞, f(x) -> +∞
• При x -> -∞, f(x) -> -∞

Теперь, имея всю информацию, можно построить график функции:

• График будет проходить через точку (0, 0).
• Функция будет возрастать на всей области определения.
• График будет иметь форму кубической функции, которая будет стремиться к +∞ при x -> +∞ и к -∞ при x -> -∞.

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = 3x^3 и можем построить её график, учитывая все найденные свойства. График будет представлять собой плавную кривую, начинающуюся в -∞ и заканчивающуюся в +∞, проходя через начало координат.