Для вычисления частных производных функции z = e^x(cos(y) + x*sin(y)) по переменным x и y, мы будем следовать определенным шагам. Частная производная функции по переменной x обозначается как ∂z/∂x, а по переменной y – как ∂z/∂y.

Чтобы найти ∂z/∂x, мы будем считать y постоянным и дифференцировать выражение по x.

• Функция z = e^x(cos(y) + x*sin(y)).
• Применим правило произведения: если u = e^x и v = cos(y) + x*sin(y),то ∂z/∂x = u'v + uv', где u' и v' – производные u и v соответственно.
• Находим u' = e^x (производная e^x по x).
• Теперь найдем v':
  • v = cos(y) + x*sin(y);
  • Тогда v' = 0 + sin(y) = sin(y) (производная x*sin(y) по x).
• Теперь подставим все в формулу: ∂z/∂x = e^x(cos(y) + x*sin(y)) + e^x*sin(y).
• Упрощаем: ∂z/∂x = e^x(cos(y) + x*sin(y) + sin(y)).

Теперь мы будем находить ∂z/∂y, считая x постоянным.

• Функция z = e^x(cos(y) + x*sin(y)).
• Снова применим правило произведения: ∂z/∂y = u'v + uv', где u = e^x и v = cos(y) + x*sin(y).
• Находим u' = 0 (поскольку e^x не зависит от y).
• Теперь найдем v':
  • v = cos(y) + x*sin(y);
  • Тогда v' = -sin(y) + x*cos(y) (производные cos(y) и x*sin(y) по y).
• Подставляем в формулу: ∂z/∂y = 0 * (cos(y) + x*sin(y)) + e^x(-sin(y) + x*cos(y)).
• Упрощаем: ∂z/∂y = e^x(-sin(y) + x*cos(y)).

Таким образом, мы получили частные производные:

• ∂z/∂x = e^x(cos(y) + x*sin(y) + sin(y));
• ∂z/∂y = e^x(-sin(y) + x*cos(y)).