Чтобы вычислить частные производные функции z = e^x (cos(y) + x * sin(y)),нам нужно последовательно применить правила дифференцирования для каждой переменной. Давайте рассмотрим, как это сделать шаг за шагом.

1. Частная производная по x:

Для нахождения частной производной z по x, мы будем рассматривать y как константу. Используем правило произведения и правило цепочки.

1. Записываем функцию: z = e^x (cos(y) + x * sin(y)).
2. Применяем правило произведения: если u = e^x и v = (cos(y) + x * sin(y)),то z = u * v.
3. Находим производные u и v:
• u' = e^x (производная от e^x).
• v' = sin(y) (производная от x * sin(y) по x, так как cos(y) - это константа).
4. Теперь применяем правило произведения: z' = u'v + uv'.
5. Подставляем значения:
• z' = e^x * (cos(y) + x * sin(y)) + e^x * sin(y).
6. Упрощаем: z' = e^x * (cos(y) + x * sin(y) + sin(y)).

2. Частная производная по y:

Теперь найдем частную производную z по y, рассматривая x как константу.

1. Функция остается той же: z = e^x (cos(y) + x * sin(y)).
2. Снова используем правило произведения:
• u = e^x (остается неизменным),
• v = cos(y) + x * sin(y).
3. Находим производные u и v:
• u' = e^x (производная от e^x по y равна 0).
• v' = -sin(y) + x * cos(y) (производная от cos(y) -sin(y),и от x * sin(y) - x * cos(y)).
4. Применяем правило произведения:
• z' = u'v + uv' = 0 * (cos(y) + x * sin(y)) + e^x * (-sin(y) + x * cos(y)).
5. Упрощаем: z' = e^x * (-sin(y) + x * cos(y)).

Итак, итоговые частные производные:

• Частная производная по x: z_x = e^x * (cos(y) + x * sin(y) + sin(y)).
• Частная производная по y: z_y = e^x * (-sin(y) + x * cos(y)).

Таким образом, мы нашли частные производные функции z по переменным x и y. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!