Чтобы найти производную функции y = ln(x * cos(2x)), мы будем использовать правило производной сложной функции и правило произведения. Давайте разберем шаги решения.

1. Применим свойство логарифмов: Мы можем разложить логарифм на сумму логарифмов:
• y = ln(x * cos(2x)) = ln(x) + ln(cos(2x)).
2. Теперь найдем производную каждого слагаемого:
• Для первого слагаемого y1 = ln(x): производная y1' = 1/x.
• Для второго слагаемого y2 = ln(cos(2x)): здесь мы применим правило производной сложной функции.
3. Найдём производную второго слагаемого:
• Используем правило производной логарифма: производная ln(u) равна (1/u) * (du/dx), где u = cos(2x).
• Теперь найдем производную u = cos(2x): производная u' = -2sin(2x) (по правилу производной косинуса).
• Таким образом, производная y2' = (1/cos(2x)) * (-2sin(2x)) = -2sin(2x)/cos(2x) = -2tan(2x).
4. Теперь объединяем результаты:
• Полная производная функции y будет равна сумме производных:
• y' = y1' + y2' = (1/x) - 2tan(2x).

Таким образом, производная функции y = ln(x * cos(2x)) равна:

y' = (1/x) - 2tan(2x).