Как найти производную x' функции x = ctg(2t) при условии, что y = (2cos(2t) - 1) / (2cos(t)), и t находится в пределах от 0 до π/2, при этом x является функцией y?

Математика Колледж Производные и дифференциальное исчисление производная функции x' ctg(2t) y = (2cos(2t) - 1) / (2cos(t)) t от 0 до π/2 x функция y Новый

Чтобы найти производную x' функции x = ctg(2t) при условии, что y = (2cos(2t) - 1) / (2cos(t)), нам нужно использовать правило цепочки для дифференцирования. Давайте разберем это по шагам.

Шаг 1: Найдем производную x по t.

Функция x = ctg(2t) является производной от функции cotangent. Мы знаем, что производная cotangent функции равна:

• x' = -csc^2(2t) * (d/dt(2t))

Так как производная от 2t по t равна 2, получаем:

• x' = -2 * csc^2(2t)

Шаг 2: Найдем производную y по t.

Теперь найдем производную функции y = (2cos(2t) - 1) / (2cos(t)). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

• y' = (f'(t)g(t) - f(t)g'(t)) / (g(t))^2

где f(t) = 2cos(2t) - 1 и g(t) = 2cos(t).

Шаг 3: Найдем производные f(t) и g(t).

• f'(t) = -4sin(2t) (поскольку производная cos(2t) равна -2sin(2t))
• g'(t) = -2sin(t) (поскольку производная cos(t) равна -sin(t))

Шаг 4: Подставим производные в формулу для y'.

Теперь подставим найденные производные в формулу:

• y' = [(-4sin(2t))(2cos(t)) - (2cos(2t) - 1)(-2sin(t))] / (2cos(t))^2

Шаг 5: Найдем производную x по y.

По правилу цепочки мы знаем, что:

• dx/dy = (dx/dt) / (dy/dt)

Таким образом, мы можем найти производную x по y:

• x' = (dx/dt) / (dy/dt)

Шаг 6: Подставляем все значения.

Теперь у нас есть x' = -2 * csc^2(2t) и y'. Подставим их в формулу:

• x' = [-2 * csc^2(2t)] / [(-4sin(2t))(2cos(t)) - (2cos(2t) - 1)(-2sin(t))] / (2cos(t))^2

Это даст нам производную x' в зависимости от t.

Шаг 7: Упростите и найдите значение производной.

Теперь упростите полученное выражение, если это возможно, и подставьте нужные значения t из диапазона [0, π/2], чтобы получить конкретные значения производной.

Таким образом, мы нашли производную x' функции x = ctg(2t) в зависимости от t и y.