У нас есть функция:

y = 2(8arctgx - 5arcctgx)

Как можно вычислить y''(x)?

Пожалуйста, укажите значение y''(1) в ответе.

Математика Колледж Производные и дифференциальное исчисление вычисление производной вторая производная функция y математика y''(x) арктангенс арккосинус значение y''(1) Новый

Для того чтобы найти вторую производную функции y = 2(8arctgx - 5arcctgx), сначала найдем первую производную y'. Затем, используя первую производную, мы найдем вторую производную y''.

Шаг 1: Найдем первую производную y'.

Функция y = 2(8arctgx - 5arcctgx) состоит из двух частей: 8arctgx и -5arcctgx. Мы будем использовать правило производной для арктангенса и арккотангенса:

• Производная arctg(x) равна 1/(1 + x^2).
• Производная arcctg(x) равна -1/(1 + x^2).

Теперь применим эти правила:

1. Для 8arctgx: (8 * 1/(1 + x^2)) = 8/(1 + x^2).
2. Для -5arcctgx: (-5 * -1/(1 + x^2)) = 5/(1 + x^2).

Теперь объединим результаты:

y' = 2(8/(1 + x^2) + 5/(1 + x^2)) = 2(13/(1 + x^2)) = 26/(1 + x^2).

Шаг 2: Найдем вторую производную y''.

Теперь мы должны найти производную от y': y' = 26/(1 + x^2).

Для этого используем правило производной частного:

• Если u = 26 и v = 1 + x^2, то производная y' = u/v.

По правилу производной частного:

y'' = (v * u' - u * v') / v^2.

Находим u' и v':

• u' = 0 (так как 26 - константа),
• v' = 2x (производная от 1 + x^2).

Теперь подставляем в формулу:

y'' = ((1 + x^2) * 0 - 26 * 2x) / (1 + x^2)^2 = -52x / (1 + x^2)^2.

Шаг 3: Найдем значение y''(1).

Теперь подставим x = 1 в выражение для второй производной:

y''(1) = -52 * 1 / (1 + 1^2)^2 = -52 / (1 + 1)^2 = -52 / 4 = -13.

Ответ: Значение y''(1) равно -13.