Как определить экстремум функции z = x^2 - xy + y^2 + 9x - 6y + 12?

Математика Колледж Экстремумы функций нескольких переменных экстремум функции z = x^2 - xy + y^2 нахождение экстремума математический анализ производная функции Новый

Чтобы определить экстремум функции z = x² - xy + y² + 9x - 6y + 12, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать метод нахождения критических точек с помощью частных производных.

1. Найдем частные производные функции:
   • Частная производная по x:

     ∂z/∂x = 2x - y + 9

   • Частная производная по y:

     ∂z/∂y = -x + 2y - 6

2. Приравняем частные производные к нулю:

   Для нахождения критических точек мы приравниваем каждую из частных производных к нулю:

   • 2x - y + 9 = 0
   • -x + 2y - 6 = 0
3. Решим систему уравнений:

   Теперь решим систему уравнений:

   1. Из первого уравнения выразим y:

   y = 2x + 9

   2. Подставим это значение во второе уравнение:

   -x + 2(2x + 9) - 6 = 0

   Упрощаем: -x + 4x + 18 - 6 = 0

   3x + 12 = 0

   x = -4

   3. Теперь подставим x = -4 в выражение для y:

   y = 2(-4) + 9 = -8 + 9 = 1

   Таким образом, мы нашли критическую точку: (x, y) = (-4, 1).

4. Определим тип экстремума с помощью второго производного теста:
   • Найдем вторые частные производные:
   • ∂²z/∂x² = 2
   • ∂²z/∂y² = 2
   • ∂²z/∂x∂y = -1
   • Теперь вычислим определитель Гессиана H:

   H = ∂²z/∂x² * ∂²z/∂y² - (∂²z/∂x∂y)²

   H = 2 * 2 - (-1)² = 4 - 1 = 3

   • Поскольку H > 0 и ∂²z/∂x² > 0, мы можем заключить, что в точке (-4, 1) находится локальный минимум.

Таким образом, мы определили, что функция z имеет локальный минимум в точке (-4, 1).