Как решить уравнение второго порядка с комплексными корнями?

Математика Колледж Уравнения второго порядка уравнение второго порядка комплексные корни решение уравнения математика алгебра квадратное уравнение методы решения Новый

Решение уравнения второго порядка с комплексными корнями происходит по тем же шагам, что и решение уравнения с действительными корнями, но с учетом особенностей комплексных чисел. Уравнение второго порядка имеет общий вид:

ax² + bx + c = 0

где a, b и c - это коэффициенты, а a не равно 0.

Чтобы решить это уравнение, следуем следующим шагам:

1. Вычисляем дискриминант (D):

   Формула для дискриминанта:

   D = b² - 4ac

2. Анализируем дискриминант:
   • Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
   • Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (дублирующийся).
   • Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.
3. Находим корни уравнения:

   Если D < 0, корни вычисляются по формуле:

   x₁ = (-b + √D) / (2a)

   x₂ = (-b - √D) / (2a)

   Так как D < 0, мы можем выразить √D как i√(-D), где i - мнимая единица.

   В итоге корни будут выглядеть так:

   x₁ = (-b + i√(-D)) / (2a)

   x₂ = (-b - i√(-D)) / (2a)

Таким образом, мы получаем два комплексных корня уравнения второго порядка. Эти корни могут быть записаны в стандартной форме комплексных чисел a + bi, где a и b - действительные числа.

Пример:

Рассмотрим уравнение 2x² + 4x + 5 = 0.

1. Находим дискриминант: D = 4² - 4 * 2 * 5 = 16 - 40 = -24.
2. Поскольку D < 0, уравнение имеет комплексные корни.
3. Находим корни:
• x₁ = (-4 + i√24) / 4 = -1 + i√6.
• x₂ = (-4 - i√24) / 4 = -1 - i√6.

Таким образом, корни уравнения 2x² + 4x + 5 = 0 равны -1 + i√6 и -1 - i√6.