Как решить уравнение y" + 16y = 7cos3x? Помогите, пожалуйста!

Математика Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка уравнение решение математика Дифференциальное уравнение y" + 16y = 7cos3x Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы будем использовать метод нахождения общего решения. Уравнение имеет вид:

y'' + 16y = 7cos(3x)

Мы будем решать это уравнение в два этапа: сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения:

Однородное уравнение имеет вид:

y'' + 16y = 0

Для решения этого уравнения мы найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 16 = 0

Решим его:

• r^2 = -16
• r = ±4i

Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x)

где C1 и C2 - произвольные константы.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения:

Для нахождения частного решения мы используем метод вариации постоянных или метод пробных функций. В данном случае, так как правая часть уравнения имеет вид 7cos(3x), мы попробуем взять частное решение в виде:

y_p = A * cos(3x) + B * sin(3x)

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = -3A * sin(3x) + 3B * cos(3x)
• y_p'' = -9A * cos(3x) - 9B * sin(3x)

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

(-9A * cos(3x) - 9B * sin(3x)) + 16(A * cos(3x) + B * sin(3x)) = 7cos(3x)

Упрощаем:

(16A - 9A)cos(3x) + (16B - 9B)sin(3x) = 7cos(3x)

Получаем систему уравнений:

• 7A = 7
• 7B = 0

Решим эту систему:

• A = 1
• B = 0

Таким образом, частное решение будет:

y_p = cos(3x)

3. Запишем общее решение:

Общее решение уравнения будет равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p = C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x) + cos(3x)

Таким образом, общее решение данного уравнения:

y = C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x) + cos(3x)