Как решить уравнение y''=5+3t?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения второго порядка уравнение математика решение y'' 5+3t Дифференциальные уравнения Новый

Для решения уравнения второго порядка y'' = 5 + 3t, сначала мы заметим, что это обыкновенное дифференциальное уравнение. Мы можем решить его, интегрируя дважды.

Шаг 1: Интегрируем первое уравнение.

• Начнем с интегрирования правой части уравнения:
• y'' = 5 + 3t.
• Интегрируем по t:
• y' = ∫(5 + 3t) dt.

Теперь давайте интегрируем:

• ∫5 dt = 5t + C1 (где C1 - произвольная константа).
• ∫3t dt = (3/2)t^2 + C2 (где C2 - произвольная константа).

Собираем все вместе:

• y' = 5t + (3/2)t^2 + C1.

Шаг 2: Интегрируем y'.

• Теперь мы интегрируем y' для нахождения y:
• y = ∫(5t + (3/2)t^2 + C1) dt.

Интегрируем каждую часть:

• ∫5t dt = (5/2)t^2 + C3 (где C3 - произвольная константа).
• ∫(3/2)t^2 dt = (1/2)(3/3)t^3 = (1/2)t^3.
• ∫C1 dt = C1t.

Теперь собираем все вместе:

• y = (5/2)t^2 + (1/2)t^3 + C1t + C3.

Шаг 3: Подводим итог.

Таким образом, общее решение уравнения y'' = 5 + 3t имеет вид:

• y(t) = (5/2)t^2 + (1/2)t^3 + C1t + C3.

Где C1 и C3 - произвольные константы, которые могут быть определены при наличии начальных условий.