Рассмотрим уравнение второго порядка:

y'' + y' + 2y = 2e^x + 1.

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти общее решение, которое состоит из двух частей: однородного решения и частного решения.

Шаг 1: Найдем однородное решение

Сначала решим однородное уравнение:

y'' + y' + 2y = 0.

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

r^2 + r + 2 = 0.

Теперь найдем корни этого уравнения, используя дискриминант:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*2 = 1 - 8 = -7.

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

r = (-1 ± √(-7)) / 2 = -1/2 ± i√(7)/2.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = e^(-1/2 * x) (C1 * cos(√7/2 * x) + C2 * sin(√7/2 * x)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение

Теперь найдем частное решение для не однородного уравнения:

y'' + y' + 2y = 2e^x + 1.

Для этого уравнения мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = Ae^x + B,

где A и B - некоторые постоянные, которые мы определим.

Теперь найдем производные:

• y'_p = Ae^x,
• y''_p = Ae^x.

Подставим y_p, y'_p и y''_p в исходное уравнение:

Ae^x + Ae^x + 2(Ae^x + B) = 2e^x + 1.

Упрощаем уравнение:

4Ae^x + 2B = 2e^x + 1.

Теперь приравняем коэффициенты:

• 4A = 2, следовательно, A = 1/2,
• 2B = 1, следовательно, B = 1/2.

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = (1/2)e^x + (1/2).

Шаг 3: Общее решение

Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

y = y_h + y_p = e^(-1/2 * x) (C1 * cos(√7/2 * x) + C2 * sin(√7/2 * x)) + (1/2)e^x + (1/2).

Таким образом, мы получили общее решение данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с дальнейшими шагами, пожалуйста, дайте знать!