Чтобы решить уравнение второго порядка y'' + y' + 2y = 2e^x + 1, нам нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение:

y'' + y' + 2y = 0

Для этого мы можем использовать характеристическое уравнение:

r^2 + r + 2 = 0

Теперь найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*2 = 1 - 8 = -7

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас есть два комплексных корня:

r = (-1 ± √(-7)) / 2 = -1/2 ± (√7 / 2)i

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = e^(-1/2)x (C1 cos(√7/2 * x) + C2 sin(√7/2 * x))

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь перейдем к нахождению частного решения для неоднородного уравнения:

y'' + y' + 2y = 2e^x + 1

Мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = Ae^x + B

где A и B - это константы, которые мы определим. Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = Ae^x
• y_p'' = Ae^x

Теперь подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

Ae^x + Ae^x + 2(Ae^x + B) = 2e^x + 1

Упростим это уравнение:

4Ae^x + 2B = 2e^x + 1

Теперь приравняем коэффициенты:

• 4A = 2 → A = 1/2
• 2B = 1 → B = 1/2

Таким образом, частное решение будет:

y_p = (1/2)e^x + (1/2)

Шаг 3: Найти общее решение

Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

y = y_h + y_p

Подставим найденные решения:

y = e^(-1/2)x (C1 cos(√7/2 * x) + C2 sin(√7/2 * x)) + (1/2)e^x + (1/2)

Таким образом, общее решение уравнения y'' + y' + 2y = 2e^x + 1 имеет вид:

y = e^(-1/2)x (C1 cos(√7/2 * x) + C2 sin(√7/2 * x)) + (1/2)e^x + (1/2)